Cho hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}\) (với m là tham số khác 0) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn \(S = 1\)?

Đáp án đúng: a

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{1 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne  - 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\,\,\left( { - 1; + \infty } \right)\).

\(y = 0 \Rightarrow x = {m^2} \Rightarrow \left( C \right)\) cắt trục hoành tại điểm \(A\left( {{m^2};0} \right)\).

\(x = 0 \Rightarrow y =  - {m^2} \Rightarrow \left( C \right)\) cắt trục tung tại điểm \(B\left( {0; - {m^2}} \right)\).

Với $x\in [0;m^2]$ thì $\frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}} < \frac{{{m^2} - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} = 0$ (do hàm số đồng biến).

Suy ra $\left| {\frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}} \right| = - \frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}$

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) và hai trục tọa độ là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^{{m^2}} {\left| {\frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}} \right|dx} \\ =  - \int\limits_0^{{m^2}} {\frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}dx}  \\ = - \int\limits_0^{{m^2}} {\frac{{x + 1 - 1 - {m^2}}}{{x + 1}}dx} \\= - \int\limits_0^{{m^2}} {\left( {1 - \frac{{1 + {m^2}}}{{x + 1}}} \right)dx}\\=  - \left[ {\int\limits_0^{{m^2}} {dx}  - \int\limits_0^{{m^2}} {\frac{{1 + {m^2}}}{{x + 1}}} dx} \right]  \\= - \left[ {\left. x \right|_0^{{m^2}} - \left( {1 + {m^2}} \right)\left. {\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^{{m^2}}} \right] \\= - \left[ {{m^2} - \left( {1 + {m^2}} \right)\ln \left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\\= \left( {1 + {m^2}} \right)\ln \left( {{m^2} + 1} \right) - {m^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\ln \left( {{m^2} + 1} \right) - {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {\ln \left( {{m^2} + 1} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \ln \left( {{m^2} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = e \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt {e - 1} \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.