Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;4;1} \right)\) và giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( Q \right):19x - 6y - 4z + 27 = 0\) và \(\left( R \right):42x - 8y + 3z + 11 = 0\) là:

Đáp án đúng: a

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua giao tuyến của \(\left( Q \right),\left( R \right)\) nên có phương trình dạng \(m\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) + n\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\)  với \({m^2} + {n^2} > 0.\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {3;4;1} \right)\) nên \(56m + 108n = 0 \Rightarrow \dfrac{m}{n} =  - \dfrac{{27}}{{14}}.\)

Chọn \(m = 27,n =  - 14\) thì:

\(\begin{array}{l}\left( P \right):27.\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) - 14.\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 75x - 50y - 150z + 575 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Sử dụng lý thuyết chùm mặt phẳng:

Giả sử \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\) trong đó: $\left( P \right):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0~;\left( Q \right):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$

Khi đó, mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều có phương trình dạng: $m\left( {{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}} \right) + n\left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0$ với \({m^2} + {n^2} > 0\)

Giải thích thêm:

Lấy điểm \(A\left( {0;\dfrac{5}{2};3} \right) \in \left( Q \right) \cap \left( R \right)\).

Giao tuyến \(d\) có \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {{n_R}} \) nên \(\overrightarrow u \) cùng phương \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right]\)

Mà \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 50; - 225;100} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow u  = \dfrac{1}{{25}}\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 2; - 9;4} \right)\)

Do đó \(d\) đi qua \(A\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( { - 2; - 9;4} \right)\).

Lại đó \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {3;4;1} \right)\) và chứa \(d\) nên \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(M,A\) và có VTPT \(\overrightarrow n  \bot \overrightarrow u \).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  \bot \overrightarrow u \\\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {MA} \end{array} \right.\) nên \(\overrightarrow n \) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MA} } \right] = \left( { - 12; - 8; - 24} \right)\)  hay chọn \(\overrightarrow n  = \left( {3;2;6} \right)\) là VTPT.

Vậy \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {3;4;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;2;6} \right)\) làm VTPT nên: \(\left( P \right):3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) + 6\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0\).

Chọn A.