Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}}$ là:

Đáp án đúng: b

Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}$

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \)

Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \ne \infty \) nên x=4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số chỉ có $1$ tiệm cận đứng $x =  - 4$

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.

- Bước 2: Tính cả 2 giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y$.

- Bước 3: Kết luận:

Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp $\left[ \begin{gathered}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty  \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty  \hfill \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty  \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty  \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ thì $x = {x_0}$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Giải thích thêm:

Cần lưu ý khi xét nghiệm của mẫu thức phải kiểm tra xem nó có là nghiệm của tử thức hay không, tránh kết luận vội vàng mẫu thức có $2$ nghiệm ${x_{1,2}} =  \pm 4$ nên đồ thị hàm số  có $2$ tiệm cận đứng dẫn đến chọn sai đáp án.