Điều kiện để biểu thức ${a^\alpha }$ có nghĩa với $\alpha  \in I$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}$, mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x + y - z + 3 = 0$ và điểm $A\left( {1;2 - 1} \right)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ cắt $d$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-m=0.$ Tìm tất cả m để $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;0;3} \right),B\left( {11; - 5; - 12} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng  $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$, điểm $A (2;  -1; 1)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Viết phương trình mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và đi qua $A$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$. Giả sử $M \in \left( P \right)$ và $N \in \left( S \right)$  sao cho $\overrightarrow {MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)$ và khoảng cách $MN$ lớn nhất. Tính $MN$ 

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho các điểm  $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua  $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy)$ có bán kính là :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right),$ $C\left( {3; - 1; - 1} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1,2,3} \right)$ và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: ${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và ${d_2}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{2}$ là: 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 1;0;0 \right),\,\,B\left( 0;2;0 \right),\,\,C\left( 0;0;-\,3 \right).$ Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC,$ thì độ dài đoạn $OH$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?