Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m + 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:

Đáp án đúng: a

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4mx\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt m \,\, (1)\end{array} \right.\end{array}\)

Hàm số \(y=f(x)\) có 3 cực trị

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow (1){\rm{\;}}\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \) \(m > 0\).

Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là \(A(0;a);B(-\sqrt m;b);C(\sqrt m;c)\). Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ + )x = 0 \Rightarrow A\left( {0;3m + 2} \right)}\\
{ + )x = - \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y = {{\left( { - \sqrt m } \right)}^4} - 2m.{{\left( { - \sqrt m } \right)}^2} + 3m + 2}\\
{ = {m^2} - 2{m^2} + 3m + 2}\\
{ = {\rm{\;}} - {m^2} + 3m + 2 \Rightarrow B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}\\
{ + )x = \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y=- {m^2} + 3m + 2\\ \Rightarrow C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}
\end{array}\)

Ta luôn có $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ đều

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - \sqrt m } \right)^2} + {\left( { - {m^2}} \right)^2} = {\left( {2\sqrt m } \right)^2} + {0^2}\\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m\\ \Leftrightarrow {m^4} - 3m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \sqrt[3]{3}\end{array} \right.\end{array}\) 

Kết hợp điều kiện \(m > 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\)

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Tính $y'$. Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

- Bước 2: Tìm tọa độ ba điểm cực trị đó. Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ (Hàm bậc bốn trùng phương luôn có một điểm cực trị có hoành độ bằng 0). Khi đó tam giác ABC đều $ \Leftrightarrow AB = BC =CA$

- Bước 3: Kết luận.

Giải thích thêm:

Có thể dung công thức giải nhanh: Đồ thị hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c(a \ne 0)$ có $3$ cực trị tạo thành tam giác đều  nếu $\left\{ \begin{gathered}ab < 0 \hfill \\ {b^3} =  - 24a \hfill \\ \end{gathered}  \right.$