Cho hàm số $y =  - {x^3} + 3m{x^2} - 3m - 1$ với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng $d:x + 8y - 74 = 0$.

Đáp án đúng: d

Ta có $y' =  - 3{x^2} + 6mx =  - 3x\left( {x - 2m} \right);{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.$.

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow m \ne 0\).

Khi đó gọi $A\left( {0; - 3m - 1} \right)$ và $B\left( {2m;4{m^3} - 3m - 1} \right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của $AB$ là điểm $I\left( {m;2{m^3} - 3m - 1} \right)$và\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2m;4{m^3}} \right) = 2m\left( {1;2{m^2}} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {8; - 1} \right).\)

Ycbt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 8\left( {2{m^3} - 3m - 1} \right) - 74 = 0\\8 - 2{m^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Hướng dẫn giải:

- Tính \(y'\) và tìm hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) của phương trình \(y' = 0\)

- Tìm tọa độ các điểm cực trị.

- Sử dụng điều kiện đối xứng tìm \(m\).

Giải thích thêm:

Cách trắc nghiệm:

Đáp án A: Với \(m = 1\) thì \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4\)

Có \(y' =  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) =  - 4\\x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)

Do đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0; - 4} \right)\) và \(B\left( {2;0} \right)\).

Trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Dễ thấy \(I \notin d\) vì \(1 + 8.\left( { - 2} \right) - 74 \ne 0\) nên hai điểm cực trị không đối xưng qua đường thẳng \(d\).

Loại A.

Tương tự với các đáp án còn lại, chú ý cũng có thể kiểm tra \(\overrightarrow {AB} \) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_d}} \) để loại nghiệm.