Biết hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ đồng thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường thẳng $d:y =  - x$. Tính $f\left( { - {a^3}} \right).$

Đáp án đúng: c

Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là điểm thuộc hàm số \(y = {a^x}\); \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua đường thẳng \(y =  - x\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( {\dfrac{{{x_M} + {x_0}}}{2};\dfrac{{{y_M} + {y_0}}}{2}} \right)\).

Vì \(M,{\rm{ }}N\) đối xứng nhau qua $d$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {MN} //\overrightarrow {{n_d}} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{y_M} + {y_0}}}{2} =  - \dfrac{{{x_M} + {x_0}}}{2}\\\dfrac{{{x_M} - {x_0}}}{1} = \dfrac{{{y_M} - {y_0}}}{1}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - {y_M}\\{y_0} =  - {x_M}\end{array} \right.$

Ta có \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \) đồ thị \(y = {a^x}\) nên \({y_M} = {a^{{x_M}}}\).

Do đó ${x_0} =  - {y_M} =  - {a^{{x_M}}} =  - {a^{ - {y_0}}}$$ \Rightarrow  - {y_0} = {\log _a}\left( { - {x_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} =  - {\log _a}\left( { - {x_0}} \right)$.

Điều này chứng tỏ điểm \(N\) thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right) = - {\log _a}\left( { - x} \right)$.

Khi đó \(f\left( { - {a^3}} \right) =  - {\log _a}{a^3} =  - 3.\)

Hướng dẫn giải:

- Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Tính giá trị \(f\left( { - {a^3}} \right)\) theo công thức vừa tìm được ở trên.

Giải thích thêm:

Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) qua \(Oy\) là được đồ thị hàm số \(y = {a^{ - x}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}.\)

Lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) qua \(Oy\) là được đồ thị hàm số \(y = f\left( { - x} \right).\)

Theo giả thiết, ta có đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = f\left( x \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y =  - x\) nên suy ra đồ thị của hai hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) và \(y = f\left( { - x} \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\).   \(\left( 1 \right)\)

Theo lý thuyết (SGK) thì đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x.\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(f\left( { - x} \right) = {\log _{\frac{1}{a}}}x \Rightarrow f\left( { - {a^3}} \right) = {\log _{\frac{1}{a}}}{a^3} =  - 3.\)