Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là

Đáp án đúng: a

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \).

Do tính chất trọng tâm có \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG} \). Suy ra\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG} \).

Mà \(\overrightarrow {AG}  = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)\). Suy ra \(3\overrightarrow {AG}  = (0; - 9;9)\).

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tìm \(\overrightarrow {AM} \) qua \(\overrightarrow {AG} \).

- Biểu diễn tổng hai véc tơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) qua \(\overrightarrow {AM} \)  suy ra kết luận.

Giải thích thêm:

HS có thể sử dụng công thức trọng tâm tam giác để tính.

Cách 2: Sử dụng tính chất: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {AG} \) như sau:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) \( = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} \) \( = 2\overrightarrow {AG}  + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)\) \( = 2\overrightarrow {AG}  + \left( { - \overrightarrow {GA} } \right)\) \( = 2\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {AG}  = 3\overrightarrow {AG} \)

Cách 3: Gọi \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}\\{z_A} + {z_B} + {z_C} = 3{z_G}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 3{x_G} - {x_A}\\{y_B} + {y_C} = 3{y_G} - {y_A}\\{z_B} + {z_C} = 3{z_G} - {z_A}\end{array} \right.\)

Từ đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) \( = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) + \left( {{x_C} - {x_A};{y_C} - {y_A};{z_C} - {z_A}} \right)\) \( = \left( {{x_B} + {x_C} - 2{x_A};{y_B} + {y_C} - 2{y_A};{z_B} + {z_C} - 2{z_A}} \right)\).