Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiLời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đáp án đúng: b
Ta có \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x\,\text{d}x}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}\)
Xét \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{t+1-t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}}-\frac{1}{t\left( t+1 \right)} \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}}}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{t\left( t+1 \right)}}\)
\(\begin{align} & =\left. -\frac{1}{t} \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)dt=\frac{3}{4}-\left. \left( \ln t-\ln \left( t+1 \right) \right) \right|_{1}^{4}} \\ & =\frac{3}{4}-\ln 4+\ln 5-\ln 2=\frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5. \\\end{align}\)
Khi đó \(I=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5 \right)=\frac{1}{2}.\ln 5-\frac{3}{2}.\ln 2+\frac{3}{8}.\) Vậy \(a+2b+4c=-\,1.\)
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp đổi biến số và tách phân thức trong dạng toán tích phân của hàm phân thức
Ta có \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x\,\text{d}x}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}\)
Xét \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{t+1-t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}}-\frac{1}{t\left( t+1 \right)} \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}}}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{t\left( t+1 \right)}}\)
\(\begin{align} & =\left. -\frac{1}{t} \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)dt=\frac{3}{4}-\left. \left( \ln t-\ln \left( t+1 \right) \right) \right|_{1}^{4}} \\ & =\frac{3}{4}-\ln 4+\ln 5-\ln 2=\frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5. \\\end{align}\)
Khi đó \(I=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5 \right)=\frac{1}{2}.\ln 5-\frac{3}{2}.\ln 2+\frac{3}{8}.\) Vậy \(a+2b+4c=-\,1.\)
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp đổi biến số và tách phân thức trong dạng toán tích phân của hàm phân thức
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức:
a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Số công thức sai là:
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng \(2\)?
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
