Hình đa diện dưới đây gồm 11 mặt.

\(\dfrac{{{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} = \dfrac{{{a^{\frac{{17}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{5}{4}}}\)

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x), ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1) nên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).

\({S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 2{a^2}\)

Gọi \(O = AC \cap BD\) ⇒ \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) ⇒ SO là đường cao của chóp.

\(AC = AB\sqrt 2 = 2a\)

SO là đường cao trong tam giác đều SAC ⇒ \(SO = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

\(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{{12{a^3}}}{{4{a^2}}} = 3a\)

Dựa vào đồ thị ta thấy:

M = 5

m = -1

⇒ M - m  = 6

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng (-1;3).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}} = - \infty \Rightarrow x = - 3\) là một đường tiệm cận đứng. 

Hàm số xác định khi \(3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{3}\).      

Vậy tập xác định của hàm số là: \(R\backslash \left\{ {\dfrac{1}{3}} \right\}\). 

Hàm số xác định khi \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\). Vậy tập xác định của hàm số là: \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

\(\dfrac{{{{\left( {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right)}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}} = \dfrac{{{a^{3\sqrt 7 + 3}}}}{{{a^{3\sqrt 7 + 5}}}} = {a^{3 - 5}} = {a^{ - 2}}\)

Ta có đáy là tam giác đều cạnh a ⇒ Diện tích đáy là: \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Chiều cao khối lăng trụ là: \(AA' = \sqrt 6 a\).

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = \sqrt 6 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\).

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là 1

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là (1;4)

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)

Số đỉnh của khối bát diện đều là 6

\({\log _a}\left( {{b^3}{c^4}} \right) = 3{\log _a}b + 4{\log _a}c = 3.3 + 4.\left( { - 4} \right) = - 7\)

Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

\(y' = 3{x^2} - 6mx - \left( {12m - 15} \right)\)

Ycbt \( \Leftrightarrow {\Delta _{y'}} \le 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 1\)

Do m nguyên nên m có 7 giá trị là \(- 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1\).

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\)

\(y' = x'\ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + x.\dfrac{1}{x} = \ln x + 1\)

\({\log _5}{a^6}=6{\log _5}a\)

\(y = \dfrac{{3x + 2}}{{x + 3}}\) có tiệm cận ngang là y = 3 nên đi qua điểm A.

\(B = \dfrac{{3V}}{h} = \dfrac{{3.10{a^3}}}{{5a}} = 6{a^2}\)

Ta có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 2 a\)  ⇒ Diện tích đáy là: \(2a^2\).

Chiều cao khối chóp là: \(SA = \sqrt 3 a\).

Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD'}} = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.\sqrt 3 a = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

Ta có: \(3f\left( x \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{3} \in \left( { - 1;3} \right)\)

Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3\) nên y = 3 là đường tiệm cận ngang.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \) nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.

Vậy hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Đặt \(V = {V_{S.ABC}} = 24{a^3}\).

Ta có \({V_{S.MNC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMC}} - {V_{B.MNC}} = V - \dfrac{1}{2}V - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}V = \dfrac{1}{3}V = 8{a^3}\).

\({V_{O.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{B_{A'B'C'D'}}.{d_{\left( {O,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3}V = \dfrac{V}{3}\)

Ta có \(y' = - 2f'\left( {1 - 2x} \right)\).

\( - 2f'\left( {1 - 2x} \right) < 0 \\ \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) > 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - 2x > 1\\ - 3 < 1 - 2x < - 1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ 1 < x < 2 \end{array} \right.\)

Hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\) xác định và liên tục trên \(\left[ {3;5} \right]\).

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+ Xét \(- 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 2\,\,\left( * \right)\).

Khi đó hàm số đồng biến trện [3;5].

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3 + m\). Do đó \(3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1\)( không thỏa ).

+ Xét \( - 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 2\,\,\,\left( {**} \right)\).

Khi đó hàm số nghịch biến trện [3;5].

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \frac{{5 + m}}{3}\). Do đó \(\dfrac{{5 + m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 7\)( thỏa (**)).

Vậy m = 7 > 5.

\(y' = \dfrac{{{{2.3}^x} - \left( {2x + 1} \right){3^x}\ln 3}}{{{3^{2x}}}} = \dfrac{{2 - \left( {2x + 1} \right)\ln 3}}{{{3^x}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\). Trong đó x = 0 là nghiệm đơn, x = -3 là nghiệm kép

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \)

\(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = \sqrt {14{a^2} - 5{a^2}} = 3a\)

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.CC' = a.2a.3a = 6{a^3}\).

\(y' = \frac{1}{4}{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - \frac{3}{4}}}.{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^\prime } \\= \frac{1}{4}{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - \frac{3}{4}}}.\left( {6x - 2} \right) \\= \dfrac{{\left( {3x - 1} \right){{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{2}\)

Ta có: \(y' = - 6{x^2} + 6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Các điểm cực trị của đồ thị là \(A\left( {0; - 7} \right)\) và \(B\left( {1; - 6} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {OA} = \left( {0; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {OB} = \left( {1; - 6} \right)\)

Vậy \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {0.\left( { - 6} \right) - 1.\left( { - 7} \right)} \right| = \dfrac{7}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là:

\(\dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m\)

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\) (vì x = 2 không thỏa phương trình).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 7} \right)x + 1 - 2m = 0\)

Ta có: \(\Delta = {m^2} + 2m + 41 > 0,{\rm{ }}\forall m \in R \) 

⇒ Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

Gọi \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right).\)Khi đó: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{2}\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\= \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {\dfrac{{7 - m}}{2}} \right)}^2} - 4\left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right)} \\= \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 40} \)

\(\Rightarrow AB \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40} = 5\sqrt 2 \)

Đẳng thức xảy ra khi m = -1

Tập xác định D = R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\)

\(\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}&{,y'' = 6x - 12} \end{array}\\ y''\left( 3 \right) = 6 > 0 \Rightarrow {x_{CT}} = 3,{y_{CT}} = - 2 \end{array}\)

Suy ra đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (3;-2).

Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SM.

Khi đó ta có \(AH = {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}\). Ta có: \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \dfrac{{3a}}{4}\).

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} \\\Rightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \dfrac{{3a}}{2}\)

\(V = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Theo đề bài ta có: \({x^2} + 2mx + m + 20 > 0{\rm{ }}\forall x \in R\).

\(\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - m - 20 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 5\)

Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

\({\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}} \\= \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}} \\= \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2\left( {{{\log }_2}40 - 3} \right)}}{{{{\log }_2}40}} \\= 2 + \dfrac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}\)

Suy ra a = 2, b = 6, c = 3.

Vậy abc = 2.6.3 = 36