Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là \(z = 1 + 2i.\)

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\left( { - \cos x} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} .\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là  \( - 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\)

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \).

\( \Rightarrow \int {f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 3x + C} .\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_9^4 {f\left( x \right)dx} \\ + \int\limits_5^4 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_4^9 {f\left( x \right)dx} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \\P = 7 - 3 = 4.\end{array}\)

Hình chiếu của điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\) lên trục Oy là điểm \(A'\left( {0;3;0} \right).\)

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) có dạng: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\)

Ta có \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\\z =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\end{array} \right.\)

Mà \({z_1}\) có phần ảo dương nên \({z_1} =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i;\,\,{z_2} =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i.\)

Vậy \(2{z_1} + 4{z_2} =  - 15 - i.\)

\(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i\)

Vậy phần thực của z bằng 3.

Ta có \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z + 10 = 0\)

Suy ra mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right).\)

Ta có \(z = \left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 4 + 3i.\)

Vậy phần thực của số phức z là 4.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 5 - 2i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow z = 2{z_1} + 3{z_2}\) \( = 2\left( {3 + 4i} \right) + 3\left( {5 - 2i} \right)\) \( = 21 + 2i\)

\( \Rightarrow \overline z  = 21 - 2i.\)

Ta có \(M\left( {3; - 4;12} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z + 5 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).\)

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).\)

Mà đường thẳng d đi qua \(A\left( {3;1;2} \right)\) nên phương trình đường thẳng d là \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}.\)

Ta có \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx =  - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C} \)

Ta có \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1 =  - 1 + 4i.\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} .\)

Ta có \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Mà \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm nên \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 2i\\{z_2} = 1 + 2i\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow {\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2 =  - 3 - 12i\).

Vậy phần ảo của số phức w là \( - 12.\)

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} \)

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_1^3 {\frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}}dx} \\I = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{5}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2x - 5\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\\I = 6 - 5\ln 4 - 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln {2^2} + 5\ln 2\\I = 4 - 10\ln 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln 2\end{array}\)

Khi đó \(a = 4;\,\,b =  - 5\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \({b^2} - 2a = {\left( { - 5} \right)^2} - 2.4 = 17.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{z_1} =  - 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \end{array}\)

Vậy \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5 + 5 = 10.\)

Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx} \)

Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) \( = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\) \( = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\)

\( \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} + 2{t^8}} \right)\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{2{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{2{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}\)

Đặt \(t = \tan u\)\( \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du}  = \frac{\pi }{4}\).

\( \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + \frac{\pi }{4}\)\( \Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4\)

Vậy \(T = a + b + c\)\( = 47 + 105 + 4 = 156\)

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có đường kính bằng 8 nên có bán kính r = 4.

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 2.1 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\)

Gọi R là bán kính mặt cầu (S), áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {r^2} + {d^2} = {4^2} + {3^2} = 25\)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).

+) \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) \( = \frac{{\left| {2.3 + 6.4 - 3\left( { - 5} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{49}}{7} = 7\)

+) Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P).

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1;5} \right),\,\,\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P), ta chọn \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c =  - 1\).

Vậy \(k = \frac{b}{c} = \frac{5}{{ - 1}} =  - 5\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = x - {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\) là

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ = \frac{8}{3} + \frac{5}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}.\end{array}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\).

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x =  - 1,\) \(x = 5\) là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right|\\ = 9 + 27 = 36.\end{array}\)

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB, AC, AD lần lượt tại B’, C’, D’.

Đặt \(\frac{{AB'}}{{AB}} = k\). Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \(\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{AD'}}{{AD}} = k\).

Khi đó ta có  \(\frac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow {k^3} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 0 = \frac{1}{3}.1\\{y_{B'}} - 1 = \frac{1}{3}.0\\{z_{B'}} + 1 = \frac{1}{3}.3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{1}{3}\\{y_{B'}} = 1\\{z_{B'}} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow B'\left( {\frac{1}{3};1;0} \right)\end{array}\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) \( = \left( {0;2; - 2} \right)\parallel \left( {0;1; - 1} \right)\)

Vì \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( {BCD} \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {0;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(0.\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) - 1.z = 0\) \( \Leftrightarrow y - z - 1 = 0\).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0\)

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\).

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {x;y;z - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BH}  = \left( {x;y - 2;z} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 2;0} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;0; - 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{{49}}\\y = \frac{{18}}{{49}}\\z = \frac{{36}}{{49}}\end{array} \right.\).

Vậy \(k = x + 2y + z = \frac{{12}}{7}.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) là

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx} \)\( = \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^4} - 1}}{2}\)

Khi dó \(a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\)

Vậy \(P = a + 3b - c\) \( = 4 + 3.1 - 2 = 5.\)

Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\pi }{4} + C = 0\)\( \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} - 1.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \) , suy ra \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;4;4} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{1}\).

Ta thấy \(M\left( {0;2;3} \right) \in \Delta \) , do đó phương trình \(\Delta \) cũng có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Do đó đường thẳng d’ song song với d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {u'} \left( {1; - 2;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng d’ đi qua M(2;1;-1) và song song với d có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Dễ thấy điểm \(A\left( {0;5; - 3} \right) \in d'\), do đó phương trình đường thẳng d’ có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;4} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;8;6} \right)\).

Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)\( = \frac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}}  = \sqrt {61} \)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\)

Xét \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right] \Rightarrow x = \pi \)

\( \Rightarrow V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {x{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx}  \approx 1,775\).

Ta có \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}} =  - 1 + 5i\)\( \Rightarrow \overline z  =  - 1 - 5i\)

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} \\ = \frac{2}{3}\left. {\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} } \right|_2^7 = \frac{{38}}{3}.\end{array}\)

Gọi \(A \in {d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\)\( \Rightarrow A\left( {a + 2;a + 4; - 2a} \right)\)

\(B \in {d_2}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)\( \Rightarrow B\left( {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 -\\2\left( { - b + 2a - 2} \right) = 0\\2\left( {2b - a + 1} \right) + b + a + 5 + b\\ - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;3;2} \right)\\B\left( { - 1;1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy trung điểm M của AB là \(M\left( {0;2;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 5 .\)

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\) có diện tích là:

\(S = \int\limits_0^4 {\left| { - {3^x}} \right|dx}  = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)