Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng d chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Nên \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\)

Ta có \(I = 2\int\limits_0^m {x\sin 2xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\\sin 2xdx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v =  - \frac{1}{2}\cos 2x\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = 2\left[ {\left. { - \frac{1}{2}x\cos 2x} \right|_0^m + \frac{1}{2}\int\limits_0^m {\cos 2xdx} } \right] \)\(=  - m\cos 2m + \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \)

Mà \(J = \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \) nên \(I =  - m\cos 2m + J.\)

Ta có \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2{\rm{z}} - 4 = 0\) có

\({d_{\left( {M;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 3\)

Số phức \(z = 8 - 7i\) có phần thực là 8 và phần ảo là \( - 7\).

Ta có đường thẳng d’ song song với đường thẳng d:\(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)

Nên đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Mặt khác đường thẳng d’ đi qua \(M\left( {0;0;2} \right)\) nên phương trình đường thẳng d’ là: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}.\)

Ta có \(M\left( { - 2;0;1} \right),N\left( {0;2; - 1} \right)\) nên trung điểm của MN là \(I\left( { - 1;1;0} \right)\) hay I là tâm mặt cầu đường kính MN.

Mặt khác \(R = IM = \sqrt {1 + 1 + 1}  = \sqrt 3 .\)

Khi đó phương trình măt cầu là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 3.\)

Ta có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} ;\,\,\,\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 2} \)\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 3\)

Mặt khác \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}\)\(  = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} \)

Mà \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx}  = 4;\) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 3\) nên \(I = 2.3 - 4 = 2.\)

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}  = 4\pi .\)

Ta có \(I = 4.\int\limits_0^m {\sin 2xdx} \)\( = \left. {4.\left( { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^m\)\( =  - 2\cos 2m + 2.\)

Ta có \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {4x} \right)dx} \)

Đặt \(4x = t \Rightarrow 4dx = dt\)

Khi đó \(I = \frac{1}{4}\int\limits_0^8 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}.\left( { - 36} \right) =  - 9\)

Ta thấy \(F\left( {1;1;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3{\rm{z}} + 2 = 0\).

Ta có mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;0;0} \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right):x + 2y + 2{\rm{z}} - 5 = 0\) nên \(R = {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| { - 1 + 2.0 + 2.0 - 5} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 2.\)

Mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\) có phương trình là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2m + \left( {n + i} \right)i = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2m - 1 + ni = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 = 3\\n = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 4\end{array} \right..\end{array}\)

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(E\left( {1;0;0} \right),\) \(N\left( {0;1;0} \right),\)\(M\left( {0;0; - 1} \right)\) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 1}} = 1\)\( \Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0.\)

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {4x\sqrt {1 - {x^2}} dx} \)

Đặt \(u = 1 - {x^2} \Rightarrow du =  - 2xdx \Rightarrow 2xdx =  - du\)

Khi đó \(I = \int\limits_1^0 {2.\sqrt u . - du}  = 2\int\limits_0^1 {\sqrt u du} \)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2\) là \(S = \int\limits_1^2 {\left| {{3^x}} \right|dx}  = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} \)

Ta có \(M\left( {1;1; - 2} \right),N\left( {3;0;3} \right),P\left( {2;0;0} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \left( {2; - 1;5} \right)\\\overrightarrow {MP}  = \left( {1; - 1;2} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MNP} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3;1; - 1} \right)\)

Ta có \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 \)\(= f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 3 - 1 = 2.\)

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\) khi \(t =  - 2\)

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x}\ln 4\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) = \ln 4.\int {{2^x}dx}  \\= \ln 4.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C}\\ = {2.2^x} + C\end{array}\)

Mà \(F\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 2 \)\(\Rightarrow F\left( x \right) = {2.2^x} + 2 \)\(\Rightarrow F\left( 1 \right) = 6\)

Ta có \(z\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = \frac{{7 + i}}{{1 + i}} = 4 - 3i\)

Khi đó \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5.\)

Ta có \(I = 4.\int\limits_0^m {{e^{\sin 2x}}\cos 2x.dx} \)\(I = \left. {\ln 3.x.\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^m - \ln 3.\frac{1}{{\ln 3}}\int\limits_0^m {{3^x}dx} \)

Đặt \({e^{\sin 2x}} = t \Rightarrow dt = 2\cos 2x.{e^{\sin 2x}}dx\)

Khi đó \(I = 4\int\limits_1^{{e^{\sin 2m}}} {\frac{{dt}}{2}}  = 2\int\limits_1^{{e^{\sin 2m}}} {dt}  \)\(= \left. {2t} \right|_1^{{e^{\sin 2m}}} = 2{e^{\sin 2m}} - 2\)

Hình chiếu của điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(M'\left( {0; - 2;3} \right).\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường \(y = 8x\ln x,y = 0,x = 1,x = e\) là

\(S = \int\limits_1^e {\left| {8x\ln x} \right|dx}  = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}  = 2{e^2} + 2\)

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4\cos x,y = 0,x = 0,x = \pi \) quay quanh trục hoành là \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\left( {4\cos x} \right)}^2}dx}  = 8{\pi ^2}.\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - 2z + 2 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;4; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - z = 0\) có vecto pháp tuyến\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2; - 1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( R \right):x + 2y + z + 3 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1;2;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \parallel \overrightarrow {{n_2}}  \Rightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right)\)

Và \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  \ne \overrightarrow 0  \Rightarrow \left( Q \right);\left( R \right)\) cắt nhau.

Ta có \(I = \ln 3.\int\limits_0^m {x{{.3}^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\{3^x}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \left. {\ln 3.x.\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^m - \ln 3.\frac{1}{{\ln 3}}\int\limits_0^m {{3^x}dx} \)

\( \Rightarrow I = m{.3^m} - J\)

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {8{x^3} + 6x} \right)} dx = 2{x^4} + 3{x^2} + C} \)

Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1;1} \right)\)

Đường thẳng \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1 \ne 0 \Rightarrow {d_1};{d_2}\) là hai đường thẳng cắt nhau.

Đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 3} \right)\) hay \(\left( { - 3; - 6;9} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là \(y = 0\).

Ta có \(M\left( { - 1; - 1; - 2} \right),N\left( {0;0; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Phương trình đường thẳng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) và đi qua \(N\left( {0;0; - 4} \right)\) có dạng: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 2}}.\)

Phương trình \({z^2} + 5{\rm{z}} + 7 = 0\) có \({\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = \frac{c}{a} = 7 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 14\)

Ta có \(z = 3 - 2i \Rightarrow \overline z  = 3 + 2i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {3;2} \right)\)

Mặt phẳng vuông góc với trục Oy có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {0;1;0} \right)\)

Mặt phẳng đó đi qua điểm \(M\left( {2;2;3} \right)\) và có dạng \(y - 2 = 0\)

Ta có \(M\left( {2;3; - 2} \right),N\left( { - 1;1;0} \right),P\left( {1; - 1;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} } \right) = \frac{{ - 3.2 + 4 + 2}}{{\sqrt {9 + 4 + 4} .\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 0\)

Nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} \) bằng \(90^\circ \).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {MN} \) và đi qua trung điểm của MN.

Ta có \(M\left( { - 3;0;3} \right),N\left( {3;0; - 3} \right)\) có trung điểm \(I\left( {0;0;0} \right)\)

Và \(\overrightarrow {MN}  = \left( {6;0; - 6} \right)\) hay \(\left( {1;0; - 1} \right)\)

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là \(\left( {1;0; - 1} \right)\) và đi qua \(I\left( {0;0;0} \right)\) có phương trình là \(x - z = 0\)

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {0; - 2; - 2} \right)\)

Mà \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in d \Rightarrow I\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( Q \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(y + z + 1 = 0\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z + 1 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\)

+) Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z =  - 1\\ - y + z =  - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow A\left( {0;0; - 1} \right)\)

+) Cho \(z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x - y =  - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)

Phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;0; - 1} \right);B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Có phương trình là \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( {z + 4i} \right)\left( {\overline z  + 6} \right)\\ = \left( {a + \left( {b + 4} \right)i} \right)\left( {a + 6 - bi} \right)\\ = a\left( {a + 6} \right) + b\left( {b + 4} \right)\\ + \left[ {\left( {a + 6} \right)\left( {b + 4} \right) - ab} \right]i\end{array}\)

Là số thuần ảo nên \(a\left( {a + 6} \right) + b\left( {b + 4} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 13\)

Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 2} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}2{\left( {{{\log }_4}x} \right)^2} - 3{\log _4}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_4}x - 1} \right)\left( {2{{\log }_4}x - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {\log _4}x \le 1\\ \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\end{array}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 4\end{array} \right. \Rightarrow 2m + n = 8\)