Ta có: \(\int {\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} - 6x + 9}}\,dx} \)

\(= \int {\dfrac{{5\left( {x - 3} \right) + 16}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} \,dx \)

\(= \int {\left( {\dfrac{5}{{x - 3}} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} \right)} \,d\left( {x - 3} \right)\)

\( = 5\ln \left| {x - 3} \right| - \dfrac{{16}}{{\left( {x - 3} \right)}} + C\)

Thể tích khối tròn xoay được xác định bởi công thức:

\(V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {{{\tan }^2}x\,dx}  \)

\(\;\;\;= \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\,dx} \)

\(\;\;\;= \pi \left( {\tan x - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{3}}\\_0\end{array} \right. \)

\(\;\;\;= \pi \left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \pi \sqrt 3  - \dfrac{{{\pi ^2}}}{3}\)

Ta có: \(I = \int {\cos \left( {4x + 3} \right)\,dx}  \)

\(= \dfrac{1}{4}\int \cos \left( {4x + 3} \right)\,d\left( {4x + 3} \right) \)

\(= \dfrac{1}{4}\sin \left( {4x + 3} \right)  + C\)

Ta có: \(F(x) = \int\limits_1^x {t\,dt}  = \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^x\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = x.\)

Ta có: \(\int {\dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \,dx\)

\(= \int {\dfrac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,d\left( {x + 1} \right)}\)

\(  = \int {\left( {2 + \dfrac{2}{{x + 1}} - \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\,d\left( {x + 1} \right)} \)

\( = 2x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + \dfrac{4}{{x + 1}} + C\)

\(= \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}} + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\)

Ta có: \(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}\,dx}  \)

\(= \dfrac{1}{5}\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}} \,d\left( {5x + 3} \right) \)

\(= \dfrac{1}{5}.\dfrac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^4}}}{4} + C\)

Ta có:

+ \({V_1} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} \,dx\)

+ \({V_2} = \pi \int\limits_a^b {{g^2}\left( x \right)} \,dx\)

Nếu V₁ = V₂ thì chưa chắc ta có: \(f(x) = g(x),\forall x \in [a;b]\).

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{{{x^2}}}{8}\\{x^2} = \dfrac{{27}}{x}\\\dfrac{{{x^2}}}{8} = \dfrac{{27}}{x}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức:

\(S = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - \dfrac{{x{}^2}}{8}} \right)} \,dx + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - \dfrac{{27}}{x}} \right)\,dx}  \)

\(= \dfrac{7}{8}\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. + \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - 27\ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_2\end{array} \right.\)

\( = \dfrac{7}{8}\left( {\dfrac{8}{3}} \right) + \left( {9 - 27\ln 3 - \dfrac{8}{3} + 27\ln 2} \right)\)

\(= 26 - 27\ln \dfrac{3}{2}\)

+ \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - \cot x\left| {_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} =  - 1 - } \right.1 \)\(\,=  - 2.\) sai vì hàm số không liên tục

+ \(\int\limits_2^1 {dx}  = 1 =  - \int\limits_1^2 {dx}  =  - \left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right. \)\(\,=  - \left( {2 - 1} \right) =  - 1.\)

+ \(\int\limits_{ - e}^e {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}^e\\_{ - e}\end{array} \right.\)\(\, = \ln \left| e \right| - \ln \left| { - e} \right| = 0.\)

Ta có:

\(\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {{{\cos }^2}x\,dx\,} \)

\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {\dfrac{{\cos 2x + 1}}{2}} \,d\left( {2x} \right) \)

\(= \dfrac{1}{4}\left( {\sin 2x + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2} - a}\\_a\end{array} \right. \)

\(= \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) + \pi  - 2a - \sin 2a - 2a} \right)\)

\( = \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx \\= \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} \,} d\left( {{x^2} + 1} \right) \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. \\= \dfrac{1}{3}\left( {2\sqrt 2  - 1} \right) = \dfrac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}\\\end{array}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 3.\)

Ta có: \(\int {\dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}} .\sin x\,dx = \int { - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}} \,d\left( {\cos x} \right) \)\(\,= \left( { - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}.\cos x} \right) + \int {{\pi ^x}.\cos x\,dx} \)

Ta có: \(\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)\,dx}  = {e^x} + {x^2} + C\)

Theo giả thiết ta có: \(F(0) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {e^0} + C = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\)

Khi đó \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(\int {\left( {\dfrac{1}{{x - 1}}} \right)} \,dx = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,d\left( {x - 1} \right) }\)\(\,=  \ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Theo giả thiết ta có: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1.\)

Khi đó ta có: \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)

Ta có: \(\int {\left( {3{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)} \,dx \)\(\,= {x^3} - 2\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x + C\)

Phương trình hoành độ giao điểm \(2 - {x^2} =  - x \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\left( {2 - {x^2}} \right) + x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_{ - 1}\end{array} \right.\)\(\, = \dfrac{{10}}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{9}{2}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\,dx}  \\= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^0\\_{ - 1}\end{array} \right. \\= 0 - \left( {2\ln 2 - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2} - 2\ln 2\\\end{array}\)

Khi đó \(a + b = \dfrac{1}{2} - 2 =  - \dfrac{3}{2}.\)

Ta có: \(I = \int {\sin 5x.\cos x\,dx}  \)\(\,= \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 6x + \sin 4x} \right)} \,dx\)\(\, =  - \dfrac{1}{{12}}\cos 6x - \dfrac{1}{8}\cos 4x + C\)

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức:

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)dx}  = \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left| {_{ - 1}^1} \right. \)\(\,= e + \dfrac{1}{e} - e - \dfrac{1}{e} = 0\)

Ta có:

\(\int {x\left( {2 + 3{x^2}} \right)\,dx}  \)

\(= \int {\left( {3{x^3} + 2x} \right)} \,dx \)

\(= \dfrac{3}{4}{x^4} + {x^2} + C \)

\(= {x^2}\left( {\dfrac{3}{4}{x^2} + 1} \right) + C\)

Ta có:

\(\int {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)\,dx} \)

\(= \dfrac{1}{2}\int \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)\,d\left( {2x} \right) \)

\(= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C \)

\( = \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

Đặt \(t = \sqrt x  \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow dx = 2t\,dt\)

Khi đó ta có:

\(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x  + 1}}}  = \int {\dfrac{{2t}}{{t + 1}}\,dt}  \)

\(= \int {\dfrac{{2\left( {t + 1} \right) - 2}}{{t + 1}}} \,dt \)

\(= \int {\left( {2 - \dfrac{2}{{t + 1}}} \right)\,dt} \)

\( = 2t - 2\ln \left| {t + 1} \right| + C \)

\(= 2\sqrt x  - 2\ln \left| {\sqrt x  + 1} \right| + C \)

\(= 2\sqrt x  - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\)

Diện tích hình phẳng giới hạn được xác định bởi công thức:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|\,dx}  = \int\limits_0^1 {\left| {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right|\,dx}  \)

\(\;\;\;= \left| {x - 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\)

\(\;\;\;= 2\ln 2 - 1 = \ln 4 - 1.\)

Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 5} \right)\,dx = \left( {{x^2} + 5x} \right)} \left| \begin{array}{l}^m\\_0\end{array} \right.\)\(\, = {m^2} + 5m = 6\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 5m - 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 6 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 6\\m = 1\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\int\limits_2^4 \dfrac{1}{{2x + 1}}\,dx \)

\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_2^4 \dfrac{1}{{2x + 1}}\,d\left( {2x + 1} \right) \)

\(= \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|\left| \begin{array}{l}{}^4\\_2\end{array} \right. \)

\(= \ln 3 - \dfrac{1}{2}\ln 5 = m\ln 5 + n\ln 3\, \)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P = m - n =  - \dfrac{3}{2}.\)

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d'\) được tính theo công thức \(d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

Dễ thấy chỉ có \(\overrightarrow x  = (0;0;0)\)thỏa mãn \(\overrightarrow x .\overrightarrow a  = \overrightarrow x .\overrightarrow b  = \overrightarrow x .\overrightarrow c  = 0.\)

\(E(x;y;z)\), từ \(\overrightarrow {CE}  = 2\overrightarrow {EB}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \dfrac{8}{3}\\z =  - \dfrac{8}{3}\end{array} \right..\)

\(M(x;y;z)\), \(ABCM\) là hình bình hành thì

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 2 - 2\\y - 2 = 3 + 1\\z + 1 = 3 - 3\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow M( - 3;6; - 1) \Rightarrow P = 44.\).

Ta có \(AB = \sqrt {26} ,AC = \sqrt {26}  \Rightarrow \) tam giác \(ABC\)cân ở \(A\) nên \(D\) là trung điểm \(BC\) \( \Rightarrow D(0;1;3).\)

Ta có: Tam giác đều. Do đó tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm của nó.

Kết luận: \(I\left( { - \dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}} \right)\)

\(\cos (\overrightarrow b ,\overrightarrow c ) = \dfrac{{\overrightarrow b .\overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|}}\)

Sử dụng công thức \(h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}.\)

\(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AI} \\\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CI} \end{array} \right\}\\ \Rightarrow 3\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SB}  + \left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {CI} } \right)\)

Vì I là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow 0 \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {SI}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right).\)

Mặt cầu tâm \(I\left( {2;4;6} \right)\), bán kính R và tiếp xúc trục Ox\( \Leftrightarrow R = d\left( {I;Ox} \right)\)

\( \Leftrightarrow R = \sqrt {y_I^2 + z_I^2}  = \sqrt {52} \). Vậy \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 52.\)

Mặt cầu tâm \(I\left( {2;4;6} \right)\), bán kính R và tiếp xúc trục Ox\( \Leftrightarrow R = d\left( {I;Oz} \right)\)

\( \Leftrightarrow R = \sqrt {x_I^2 + y_I^2}  = \sqrt {20} \). Vậy \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 20.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = 3\). Do mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) đối xứng với \(\left( S \right)\) qua mặt phẳng (Oxy)  nên tâm I' của \(\left( {S'} \right)\) đối xứng với I qua (Oxy), bán kính \(R' = R = 3\).

Ta có : \(I'\left( {1;2; - 3} \right)\). Vậy \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( { - 1;1;2} \right)\), bán kính \(R = 2\). Do mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) đối xứng với \(\left( S \right)\) qua trục Oz nên tâm I' của \(\left( {S'} \right)\) đối xứng với I qua trục Oz, bán kính \(R' = R = 2\).

Ta có : \(I'\left( {1; - 1;2} \right)\). Vậy \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = 4\). Ta có : \(d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng (Oxy), ta suy ra :

\(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right)} \right]}^2}}  = \sqrt 7 \). Vậy chu vi (C)  bằng : \(2\sqrt 7 \pi \).

Ta có \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;m;0} \right)\)

Giả thiết có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\left| { - m - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow m =  - 3\)

Vậy \(M\left( {0; - 3;0} \right)\)