Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) :\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) \(\left( {a,b,c \ne 0} \right)\) .

Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)       

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{3} = 1\\\dfrac{b}{3} = 2\\\dfrac{c}{3} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0\)

Vì \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\)\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):2x - 4y + 4z + m = 0\)\(\left( {m \ne 3} \right)\)

Giả thiết có \(d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {32 + m} \right|}}{6} = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 14\\m =  - 50\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( \alpha  \right):x - 2y + 2z - 7 = 0\), \(\left( \alpha  \right):x - 2y + 2z - 25 = 0\)

Ta có \({d_1}\) đi qua \(A\left( {2;2;3} \right)\) và có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = \left( {2;1;3} \right)\), \({d_2}\) đi qua \(B\left( {1;2;1} \right)\) và có \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = \left( {2; - 1;4} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}= \left( { - 1;1; - 2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}; \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}; \)\(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}} \right]\overrightarrow {AB}=  - 1 \ne 0\) nên \({d_1},{d_2}\) chéo nhau.

Do \(\left( \alpha  \right)\) cách đều \({d_1},{d_2}\) nên \(\left( \alpha  \right)\) song song với \({d_1},{d_2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right)\) có dạng \(7x - 2y - 4z + d = 0\)

Theo giả thiết thì \(d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {d - 2} \right|}}{{\sqrt {69} }} = \dfrac{{\left| {d - 1} \right|}}{{\sqrt {69} }} \Leftrightarrow d = \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):14x - 4y - 8z + 3 = 0\)

Ta có:

\(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \)

\(= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left( {\sin x} \right) \)

\(= \int {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left( {\sin x} \right)\)

\( = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} \,d\left( {\sin x} \right) \)

\(= \left( {\sin x - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} \right) + C\)

Quãng đường vật đi được sau 4s là:

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}} \right)\,dt}  \)

\(= \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + t - 3 + \dfrac{{13}}{{t + 3}}} \right)\,dt}  \)

\(= \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} - 1,8t + 13\ln \left| {t + 3} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right.\)

\( = \left( {8 - 1,8.4 + 13\ln 7} \right) - 13\ln 3\)\( \approx 12\left( m \right)\)

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^2}} dx = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{3}\)

\(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^3}} dx = \left( {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{4}\)

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx}  = \left( {x\ln x} \right)\left| {_1^e} \right. - \int\limits_1^e {dx} \)\(\, = e - \left( x \right)\left| {_1^e} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\)

Ta có \(\int {f\left( x \right)} \,dx = F\left( x \right) + C\)

\( \Rightarrow \)\(CF\left( x \right)\) không phải là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)với mọi số thực \(C \ne 1\).

Ta có: \(\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx}  \)

\(=  - \dfrac{1}{3}\int {{e^{3\cos x}}\,d\left( {3\cos x} \right)}  \)

\(=  - \dfrac{1}{3}{e^{3\cos x}} + C\)

Ta có: \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \)

\(= \int {\dfrac{{2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + x - 2 + 1}}{{x - 2}}} \,dx \)

\(= \int {\left( {2\left( {x - 2} \right) + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)} \,dx\)

\( = \left( {{x^2} - 3x + \ln \left| {x - 2} \right|} \right) + C\)

+ Ta có: \(\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right|}  + C \to \) Đáp án B sai.

+ Ta có \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha  \in R} ,\alpha  \ne 1 \to \) Đáp án A sai.

+ Ta có: \(\int \dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}\)

\(= \dfrac{1}{{a - b}}\int {\left( {\dfrac{1}{{x + b}} - \dfrac{1}{{x + a}}} \right)\,dx}\)

\(=  \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C \)

Ta có:

\(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} = \int {{3^{{x^2}}}} d\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{2}\int {{3^{{x^2}}}} d\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{\ln 3}} + C\)

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx}  \)\(\,=  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\,d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin \left( {a - x} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I =  - \left( {x\sin \left( {a - x} \right)} \right)\left| {_{_{\scriptstyle\atop{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin \left( {a - x} \right)} \,dx\)

\(=  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} d \left( {\cos \left( {a - x} \right)} \right)\)

\( =  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. \)

\(=  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) - \cos a\)

\( = \dfrac{\pi }{2}\cos a + \sin a - \cos a \)

\(= \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\,\cos a + \sin a\)

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {{x^3}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}^{}\end{array} \right.\)\(\, = \left| {\dfrac{1}{4} - 4} \right| = \dfrac{{15}}{4}.\)

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}  = \left( { - \cot x} \right) + C\)

Theo giả thiết ta có: \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - \cot \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = \sqrt 3 \)

\(\int {f(x)\,dx = F(x) + C} \)\( \Rightarrow \)\(\int {f(ax + b) = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 3 \to t = 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^2 {2t.\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}} \,dt = \int\limits_1^2 {2t\left( {t - 1} \right)\,dt} \)

\( \Rightarrow f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\)

Ta có: \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)} \,dx \)\(\,= \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,dx = 2 \)

\(\Rightarrow \int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,dx = 2 - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,dx\)\(\, = 2 - 7 =  - 5\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)\\v = g\left( x \right)\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \)\(\, = \left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right)\left| \begin{array}{l}^b\\_a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {g\left( x \right)} f'\left( x \right)\,dx\)

Ta có: \(\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = \,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt + \int\limits_2^4 {f\left( t \right)\,dt} } }  \)\(\,= 3 \)

\(\Rightarrow \int\limits_2^4 {f\left( t \right)\,dt}  = 3 - \int\limits_1^2 {f(t)\,dt} \)\(\, = 3 - 3 = 0\)

Ta có: \(\int {{2^{2x}}{3^x}{7^x}} dx = \int {{{84}^x}} dx = \int f(x)\,dx \)\(\,= \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C\)

Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt x  - x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{6}\)

Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} \,dx\)

\(= \int {\left( {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx \)

\(= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\)

Ta có: \(\int {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\)

\(= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\)

\(= \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} \,dx \)

\(=  - \cot x - \tan x + C\)

Ta có: \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\,dx} \)

\(= \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{\sin x}}\,d\left( {\sin x} \right)}  \)

\(= \ln \left| {\sin x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. =  - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Thể tích của khối tròn xoay được xác định bởi công thức:

\(V = \pi \int\limits_1^2 {x{e^x}dx}  = \pi {e^x}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)|_1^2 \)\(\,= \pi \left( {2{e^2} - 0} \right) = 2\pi {e^2}\)

Diện tích hình phẳng dưới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị được xác định bằng công thức:

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)} \,dx + \int\limits_0^1 {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)} \,dx\)

\(= \left( {x - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. + \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\)

\( = 1 - \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{4}{3}\)

Khi đó \(b - a = 3 - 4 =  - 1.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Khi đó

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx}  \)

\(= \left( {\left( {2x + 1} \right){e^x}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx \)

\(= 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx\)

Mặt phẳng \((P)\) cắt mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 12\) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng \((P)\) đi qua tâm \(I(1; - 2;0)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \(Oxz\) có dạng :\(Ay + B = 0\)

 Do \((P)\) đi qua tâm \(I(1; - 2;0)\)có phương trình dạng: \(y + 2 = 0\).

Gọi \(H,K\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của  \(M\)trên mặt phẳng\((\alpha )\) và trục \(Oy\).

Ta có : \(K(0;2;0)\)

\(d(M,(\alpha )) = MH \le MK\)

Vậy khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng\((\alpha )\) lớn nhất khi mặt phẳng\((\alpha )\)qua \(K\) và vuông góc với\(MK\).

Phương trình mặt phẳng: \(x + 3z = 0\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1,2,3} \right),R = 3\).

Ta có \(IA < R\) nên điểm \(A\)nằm trong mặt cầu.

Ta có : \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \)

Diện tích hình tròn \(\left( C \right)\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \)\(r\)nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) lớn nhất.

Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) \le IA\)\( \Rightarrow \max d\left( {I,\left( P \right)} \right) = IA\) Khi đó mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm vtpt

\( \Rightarrow \left( P \right):x + 2y + z - 2 = 0\)

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(\left( P \right)\) với các trục \(Ox,Oy,Oz\)

\( \Rightarrow \)\(\left( P \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N \in \left( P \right)}\\{NA = NB}\\{NA = NC}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1}\\{\left| {a - 1} \right| = \left| {b - 1} \right|}\\{\left| {a - 1} \right| = \left| {c - 1} \right|}\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow a = b = c = 3 \Rightarrow x + y + z - 3 = 0\)

Gọi \(M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;b;0} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(\left( P \right)\) với các tia \(Ox,Oy\)\(\left( {a,b > 0} \right)\)

Do \(OM = 2ON\)\( \Leftrightarrow a = 2b\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} \left( { - 2b;b;0} \right) =  - b\left( {2; - 1;0} \right)\) .Đặt \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;0} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \)\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)\)

Phương trình măt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0\).

Trường hợp 1:\(CD//\left( P \right)\)

\(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 6; - 10; - 14} \right)\)\(\, =  - 2\left( {3;5;7} \right)\)

\( \Rightarrow \left( P \right):3x + 5y + 7z - 20 = 0\)

Trường hợp 2:\(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\) của \(CD\)

\(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {1;3;3} \right) \)

\(\Rightarrow \left( P \right):x + 3y + 3z - 10 = 0\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \)

\( \Rightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = 36\).

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \).

\( \Rightarrow IH = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu là : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có: \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \).

\( \Rightarrow R = IA = 2\sqrt {18} \).

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 72.\)

Gọi H là hình chiếu của \(I\left( {3;\sqrt 3 ; - 7} \right)\) trên Oy\( \Rightarrow H\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\)\( \Rightarrow R = IH = \sqrt {58} \)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 58.\)

Gọi H là hình chiếu của \(I\left( {\sqrt 5 ;3;9} \right)\) trên Ox\( \Rightarrow H\left( {\sqrt 5 ;0;0} \right)\)\( \Rightarrow R = IH = \sqrt {90} \)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - \sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 9} \right)^2} = 90.\)

Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là \(A,B,C\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {6;6;4} \right)\)

\({S_{hbh}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \)\(\,= \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{14}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 2\sqrt {83} \)