Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2; - 3;4} \right)$, đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất. Mặt cầu $\left( S \right)$ cắt $\left( P \right)$ theo đường tròn có bán kính bằng :

Đáp án đúng: d

Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$ và $d$ ta có $AH \le AK$, khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow \left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {AK}$ là 1 VTPT.

Gọi $K\left( {1 + 2t; - 2 + t;2t} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( {2t - 1;t + 1;2t - 4} \right)$.

$\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;1;2} \right)$ là 1 VTCP của $d$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow 4t - 2 + t + 1 + 4t - 8 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow K\left( {3; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( {1;2; - 2} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \left( P \right):\,\,x - 3 + 2\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20$ có tâm $I\left( {3;2; - 1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5$.

Ta có: $d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 2.2 - 2\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \dfrac{{12}}{3} = 4$.

Gọi $r$ là đường kính đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ ta có:

${R^2} = {d^2} + {r^2} \Leftrightarrow r = \sqrt {{R^2} - {d^2}}  = \sqrt {20 - 16}  = 2$.

Hướng dẫn giải:

- Nhận xét: $d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le d\left( {A,d} \right)$ suy ra GTLN của $d(A,(P))$ và viết phương trình $(P)$.

- Sử dụng công thức: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$ tính bán kính đường tròn giao tuyến.