Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 3;4} \right)\), đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo đường tròn có bán kính bằng :
A.
\(\sqrt 5 \)
B.
$1$
C.
$4$
D.
$2$
Lời giải của giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\) và \(d\) ta có \(AH \le AK\), khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {AK} \) là 1 VTPT.
Gọi \(K\left( {1 + 2t; - 2 + t;2t} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {2t - 1;t + 1;2t - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;1;2} \right)\) là 1 VTCP của \(d\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 4t - 2 + t + 1 + 4t - 8 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow K\left( {3; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {1;2; - 2} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - 3 + 2\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\) có tâm \(I\left( {3;2; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).
Ta có: \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 2.2 - 2\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \dfrac{{12}}{3} = 4\).
Gọi \(r\) là đường kính đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) ta có:
\({R^2} = {d^2} + {r^2} \Leftrightarrow r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {20 - 16} = 2\).
Hướng dẫn giải:
- Nhận xét: $d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le d\left( {A,d} \right)$ suy ra GTLN của \(d(A,(P))\) và viết phương trình \((P)\).
- Sử dụng công thức: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$ tính bán kính đường tròn giao tuyến.
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\) và \(d\) ta có \(AH \le AK\), khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {AK} \) là 1 VTPT.
Gọi \(K\left( {1 + 2t; - 2 + t;2t} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {2t - 1;t + 1;2t - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;1;2} \right)\) là 1 VTCP của \(d\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 4t - 2 + t + 1 + 4t - 8 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow K\left( {3; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {1;2; - 2} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - 3 + 2\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\) có tâm \(I\left( {3;2; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).
Ta có: \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 2.2 - 2\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \dfrac{{12}}{3} = 4\).
Gọi \(r\) là đường kính đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) ta có:
\({R^2} = {d^2} + {r^2} \Leftrightarrow r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {20 - 16} = 2\).
Hướng dẫn giải:
- Nhận xét: $d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le d\left( {A,d} \right)$ suy ra GTLN của \(d(A,(P))\) và viết phương trình \((P)\).
- Sử dụng công thức: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$ tính bán kính đường tròn giao tuyến.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A{A_1}\). Thể tích khối chóp \(M.BC{A_1}\) là:
Tìm giá trị $m$ để phương trình \({2^{\left| {x - 1} \right| + 1}} + {2^{\left| {x - 1} \right|}} + m = 0\) có nghiệm duy nhất
Cho \(x > 0\) và \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\). Chọn công thức đúng:
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
Cho hình nón có bán kính đáy bằng $4a$ và chiều cao bằng $3a.$ Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
Cho hàm số $y = {x^4} - 2(m + 1){x^2} + m + 2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm thuộc $\left( C \right)$ có hoành độ bằng $1$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{4}x - 2016$
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \ln x\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;e} \right]\) tại \(x = {x_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là tâm các hình bình hành \(ABCD,\,\,A'B'C'D',\,\,ABB'A',\,\,BCC'B',\,\,CDD'C',\,\,DAA'D'\). Thể tích khối đa diện có các đỉnh \(M,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F,\,\,N\) bằng:
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
Cho hình chóp đều $n$ cạnh $(n \ge 3)$. Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là $R$ và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${60^0}$ , thể tích khối chóp bằng $\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^3}$ . Tìm $n$?
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = {x^4} + 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 5m + 2$ có cực đại, cực tiểu
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2\) trên \(R\), chọn kết luận đúng: