Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y =  - 2x + m$ cắt đồ thị $(H)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm$A,{\text{ }}B$ phân biệt sao cho $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,{\text{ }}B$ của đồ thị $(H)$.

Đáp án đúng: b

Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ đã cho và $\left( H \right)$.

$\begin{array}{l} - 2x + m = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( { - 2x + m} \right) = 2x + 3\\ \Leftrightarrow  - 2{x^2} + \left( {m - 4} \right)x + 2m = 2x + 3\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {6 - m} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}$

$d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình (*) có $2$  nghiệm phân biệt khác \( - 2\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {6 - m} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {6 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.$

(luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm \(A,B\) lần lượt là \({x_1},{x_2}\), khi đó:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\({k_1}.{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} \right]}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\dfrac{{3 - 2m}}{2} + 2.\dfrac{{m - 6}}{2} + 4} \right]}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 - 2m + 2m - 12 + 8}}{2}} \right)}^2}}} = 4\)

Khi đó \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2{\left| {{k_1}{k_2}} \right|^{1009}} = {2.4^{1009}} = {2^{2019}}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({k_1} = {k_2} = 2\) hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng \(I\) của đồ thị \(\left( H \right)\) hay \(d\) đi qua \(I\left( { - 2;2} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

\( \Leftrightarrow I \in d \Leftrightarrow 2 = -2.\left( {-2} \right) + m \Leftrightarrow m = -2\)

Hướng dẫn giải:

+ Tính \(y'\).

+ Tìm điều kiện để đường thẳng $d$  cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt.

+ Đánh giá và tìm GTNN của biểu thức \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018}\) sử dụng bất đẳng thức Cô-si với \({k_1},{k_2}\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.

+ Tìm điều kiện để $d$ đi qua giao điểm $I$ của $2$ đường tiệm cận của $\left( H \right)$.