Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 5} }}{{x - 2}}\) là:

Đáp án đúng: a

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 5} }}{{x\left( {x - 2} \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^4}}}} }}{{1 - \dfrac{2}{x}}} = 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \) \(\Rightarrow a = 1\) .

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\dfrac{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 5} }}{{x - 2}} - x} \right] \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 5}  - \left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^3} - 7{x^2} + 5}}{{\left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 5}  + \left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4 - \dfrac{7}{x} + \dfrac{5}{{{x^3}}}}}{{\left( {1 - \dfrac{2}{x}} \right)\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^4}}}}  + 1 - \dfrac{2}{x}} \right)}} = \dfrac{4}{2} = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = 2 \Rightarrow b = 2\end{array}\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = x + 2\).

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Tính cả hai giới hạn \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(a' = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\).

- Bước 2: Nếu \(\left[ \begin{array}{l}a \ne 0; \pm \infty \\a' \ne 0; \pm \infty \end{array} \right.\) thì tính \(\left[ \begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\\b' = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - a'x} \right]\end{array} \right.\)

- Bước 3: Kết luận: Nếu các giới hạn trên là hữu hạn thì \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) là các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Giải thích thêm:

HS cần chú ý khi tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x};\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\), nhiều em tính sai các giới hạn này dẫn đến chọn nhầm đáp án B hoặc C là sai.