Kết quả tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\) với \(a,b \in Q\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng: a

Cách 1: Đặt \(t = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow dt = 2\ln x\dfrac{{dx}}{x} \Rightarrow \dfrac{{\ln xdx}}{x} = \dfrac{{dt}}{2}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{dt}}{t}}  = \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| t \right|} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2}\ln 2 = a\ln 2 + b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2a + b = 1\)

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Giải thích thêm:

Một số em khi tính được \(a = \dfrac{1}{2},b = 0\) thì vội vàng kết luận \(ab = \dfrac{1}{2}\) và chọn D là sai.

Cách 2:  Dùng MTCT tính tích phân $I$ sau đó dùng [SHIFT] [STO] gán giá trị vừa nhận được cho biến A.

Khi đó ta có: \(A = a\ln 2 + b \Rightarrow b = A - a\ln 2\)

Coi $a$ là biến $x$ khi đó \(b = f\left( x \right) = A - x\ln 2\)

Sử dụng [MODE] [7] cho $x$ chạy từ -2 đến 2, step là 0,5, khi $x$ và $f(x)$ cùng đẹp đó chính là giá trị cần tìm.

Ta thấy khi $x = 0,5$ thì $f(x) = 0$ hay khi $a = 0,5$ thì $b = 0$. Do đó $2a + b = 1$.