Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho \(x\), \(y\) là những số thực thoả mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 1\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}\). Giá trị của \(A = M + 15m\) là
A.
\(A = 17 - 2\sqrt 6 \).
B.
\(A = 17 + \sqrt 6 \).
C.
\(A = 17 + 2\sqrt 6 \).
D.
\(A = 17 - \sqrt 6 \).
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đáp án đúng: a
Ta có
+) \(1 + xy = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 1\) vì \({\left( {x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\).
+) \({x^2} - xy + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 3xy \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - \dfrac{1}{3}\).
Khi đó \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2} + 1}}{{xy + 2}}\).
Đặt \(t = xy,\,t \in \left[ { - \dfrac{1}{3};\,\,1} \right]\), xét hàm số \(P = \dfrac{{ - {t^2} + 2t + 2}}{{t + 2}}\)
\(P' = \dfrac{{ - {t^2} - 4t + 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\); \(P' = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt 6 \)
Mà \(P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(P\left( 1 \right) = 1\); \(P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Khi đó: \(m = P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(M = P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Vậy \(A = M + 15m = 17 - 2\sqrt 6 \).
Hướng dẫn giải:
- Tìm tập giá trị của tích \(xy\) dựa vào điều kiện bài cho.
- Biến đổi \(P\) chỉ làm xuất hiện tích \(xy\) rồi đặt \(t = xy\)
- Xét hàm số \(P\left( t \right)\) và tìm \(\max ,\min \), chú ý điều kiện của \(t\) tìm được từ đầu.
Ta có
+) \(1 + xy = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 1\) vì \({\left( {x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\).
+) \({x^2} - xy + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 3xy \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - \dfrac{1}{3}\).
Khi đó \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2} + 1}}{{xy + 2}}\).
Đặt \(t = xy,\,t \in \left[ { - \dfrac{1}{3};\,\,1} \right]\), xét hàm số \(P = \dfrac{{ - {t^2} + 2t + 2}}{{t + 2}}\)
\(P' = \dfrac{{ - {t^2} - 4t + 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\); \(P' = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt 6 \)
Mà \(P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(P\left( 1 \right) = 1\); \(P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Khi đó: \(m = P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(M = P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Vậy \(A = M + 15m = 17 - 2\sqrt 6 \).
Hướng dẫn giải:
- Tìm tập giá trị của tích \(xy\) dựa vào điều kiện bài cho.
- Biến đổi \(P\) chỉ làm xuất hiện tích \(xy\) rồi đặt \(t = xy\)
- Xét hàm số \(P\left( t \right)\) và tìm \(\max ,\min \), chú ý điều kiện của \(t\) tìm được từ đầu.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Biết \(A'C\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \) với \(\tan \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\). Thể tích khối chóp $A'.ICD$ là:
Hàm số $y = {x^3} + 2a{x^2} + 4bx - 2018,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,{\mkern 1mu} b \in R)$ đạt cực trị tại $x = - 1$ . Khi đó hiệu $a - b$ là:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C,\)\(AB = a\sqrt 5 ,\)\(AC = a.\) Cạnh bên \(SA = 3a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 6 \). Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
Khối đa diện đều nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là \(64\pi \left( {{m^3}} \right)\). Tìm bán kính đáy \(r\) của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là:
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Cho khối chóp \(S.ABC\). Trên các cạnh \(SA,SB,SC\) lấy các điểm \(A',B',C'\) sao cho \(A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC'\), khi đó tồn tại một phép vị tự biến khối chóp \(S.ABC\) thành khối chóp \(S.A'B'C'\) với tỉ số đồng dạng là:
