Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ có \(AB = a\) , mặt bên \(ABB'A'\) là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với \(AB'\) chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần?

Đáp án đúng: c

Gọi $D$ là trung điểm của $AA'$  ta có $ID$ là đường trung bình của tam giác \(AA'B \Rightarrow ID//A'B\)

Mà \(A'B \bot AB'\) (do \(ABB'A'\) là hình vuông)

\( \Rightarrow ID \bot AB'\)

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên \(IC \bot AB\). Mà \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot IC\)

\( \Rightarrow IC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow IC \bot AB'\)

\( \Rightarrow AB' \bot \left( {ICD} \right)\)

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng qua $I$ và vuông  góc với $AB'$  là \(\left( {ICD} \right)\)

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên \(AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)

\(ABB'A'\) là hình vuông \( \Rightarrow AA' = AB = a\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{4} = V\)

Ta có: \({V_{D.ACI}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{ACI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = {V_1}\)

\( \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{4} - \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)

Hướng dẫn giải:

- Dựng mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(AB'\) (là mặt phẳng \(\left( {DIC} \right)\) với \(D\) là trung điểm của \(AA'\).

- Tính diện tích tam giác \(ABC\), từ đó suy ra diện tích tam giác \(AIC\).

- Tính độ dài đường cao \(A'A\) của lăng trụ và độ dài đường cao \(DA\) của hình chóp \(D.AIC\).

- Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và khối chóp \(D.AIC\), từ đó tính được thể tích phần còn lại của khối lăng trụ được chia bởi mặt phẳng \(\left( {DIC} \right)\)