Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SB\) vuông góc với đáy. Biết \(SB = a,SC\) hợp với \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\) và \(\left( {SAC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp là:
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{{27}}\)
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{9}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đáp án đúng: a
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SB\,\,\left( {SB \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SA\)
\( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}$
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SA \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AB} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}\)
\(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại $B$
\( \Rightarrow AB = SB.\cot {60^0} = a.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác vuông $SAC$ ta có: \(AC = SA.\tan {30^0} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\)
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\)
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}}\) và chiều cao \(h = SB\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SB\,\,\left( {SB \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SA\)
\( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}$
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SA \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AB} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}\)
\(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại $B$
\( \Rightarrow AB = SB.\cot {60^0} = a.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác vuông $SAC$ ta có: \(AC = SA.\tan {30^0} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\)
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\)
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}}\) và chiều cao \(h = SB\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân tại $A$. \(AB = AC = 2a,\widehat {CAB} = {120^0}.\) Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của tất cả bao nhiêu mặt?
Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = 2a,\,\,\,AC = 3a,\,\,AD = 4a.\) Thể tích của khối tứ diện đó là:
Cho đa diện \(ABCDEF\) có \(AD,BE,CF\) đôi một song song. \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AD + BE + CF = 5\), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(10\). Thể tích đa diện \(ABCDEF\) bằng
Khối đa diện lồi có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt thì có số cạnh là:
Đáy của hình chóp $S.ABCD$ là một hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài là \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) bằng:
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
Có bao nhiêu cách chọn ra ba đỉnh từ các đỉnh của một hình lập phương để thu được một tam giác đều ?
