Cho các số dương $a, b, c, d$. Biểu thức $S = \ln \dfrac{a}{b}+ \ln \dfrac{b}{c} + \ln \dfrac{c}{d}+\ln \dfrac{d}{a}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;0;3} \right),B\left( {11; - 5; - 12} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng  $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$, điểm $A (2;  -1; 1)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Viết phương trình mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và đi qua $A$.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( S \right)\)  sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)\) và khoảng cách \(MN\) lớn nhất. Tính \(MN\) 

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho các điểm  $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua  $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm $A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right),$ $C\left( {3; - 1; - 1} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1,2,3} \right)$ và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) là: 

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( 1;0;0 \right),\,\,B\left( 0;2;0 \right),\,\,C\left( 0;0;-\,3 \right).\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC,\) thì độ dài đoạn \(OH\) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?