Cho các hàm số $y = f (x), y = g (x), y = \dfrac{{f\left( x \right) + 3}}{{g\left( x \right) + 1}}$ . Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x = 1$ bằng nhau và khác $0$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Đáp án đúng: a

Ta có:

$y'=\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'=\dfrac{f'\left( x \right)\left( g\left( x \right)+1 \right)-g'\left( x \right)\left( f\left( x \right)+3 \right)}{{{\left( g\left( x \right)+1 \right)}^{2}}}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - g'\left( 1 \right)\left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2 = {\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3\end{array}$

Xét phương trình \( - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3 = 0\) có:

$\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 11 < 0;a =  - 1 < 0$

$\dfrac{{ - \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - 11}}{4}\,\,\, \Rightarrow f\left( 1 \right) \le \dfrac{{ - 11}}{4}$

Hướng dẫn giải:

- Tính $\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'$.

- Thay $x=1$ vào các đạo hàm $f'\left( x \right),g'\left( x \right),\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'$ để tìm mối quan hệ của $f\left( 1 \right),g\left( 1 \right)$.

- Rút $f\left( 1 \right)$ theo $g\left( 1 \right)$ và đánh giá biểu thức chỉ chứa $g\left( 1 \right)\Rightarrow f\left( 1 \right)$.

Giải thích thêm:

HS chú ý khi đạo hàm hàm thứ 3, sử dụng công thức đạo hàm thương cần lưu ý khi xét pt bậc hai của $g(x)$ cần thấy được do $a<0$ nên đthi là parabol quay phần lõm xuống, tức là đỉnh là điểm cao nhất, tránh nhầm lẫn ngược lại dẫn đến chọn đáp án D là sai.