Đề thi HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022 - Trường THPT Ngô Gia Tự

Đề thi HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022 - Trường THPT Ngô Gia Tự

  • Hocon247

  • 40 câu hỏi

  • 60 phút

  • 100 lượt thi

  • Trung bình

Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com

Câu 1: Trắc nghiệm ID: 247247

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \({z^2} + {(\overline z )^2} = 0\) là: 

Xem đáp án

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}{z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2{b^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a =  - b\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn bài toán là các đường thẳng \(y = x\) và \(y =  - x\) chính là các đường phân giác của các góc phần tư.

Chọn D

Câu 2: Trắc nghiệm ID: 247248

Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = \sin (x - 1)\)? 

Xem đáp án

Ta có \(\int {\sin \left( {x - 1} \right)dx =  - \cos \left( {x - 1} \right) + C} \).

Chọn A

Câu 3: Trắc nghiệm ID: 247249

Cho số phức \(z = 2 - i\). Mệnh  đề nào dưới đây đúng? 

Xem đáp án

Số phức \(z = 2 - i\) có phần thực bằng \(2\).

Chọn A

Câu 4: Trắc nghiệm ID: 247250

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\). Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của \(\left( S \right)\): 

Xem đáp án

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\) suy ra tâm \(I\left( {1;3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)}  = 4.\)

Chọn C

Câu 6: Trắc nghiệm ID: 247252

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A( - 3;2;2);B( - 5;3;7)\)và mặt phẳng (P) : \(x + y + z = 0\). Điểm \(M(a;b;c)\)thuộc \(\left( P \right)\)sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(T = 2a + b - c\)

Xem đáp án

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB} \)

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 3 - x;2 - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( { - 5 - x;3 - y;7 - z} \right)\)

Suy ra \(2\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3 - x} \right) =  - 5 - x\\2\left( {2 - y} \right) = 3 - y\\2\left( {2 - z} \right) = 7 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\\z =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 3} \right)\)

Khi đó ta có \(\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)

Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất khi \(IM\) nhỏ nhất.

Nhận thấy \(I \notin \left( P \right) \Rightarrow IM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

+ Đường thẳng \(d\) qua \(I\left( { - 1;1; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)\) làm VTCP là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\)

+ \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z =  - 3 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\\ - 1 + t + 1 + t - 3 + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 0\\y = 2\\z =  - 2\end{array} \right.\) suy ra \(M\left( {0;2; - 2} \right)\)

\(T = 2a + b - c = 2.0 + 2 - \left( { - 2} \right) = 4.\)

Chọn C

Câu 7: Trắc nghiệm ID: 247253

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x,x = e,x = \dfrac{1}{e}\) và trục hoành 

Xem đáp án

Ta có : \(S = \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^e {\left| {\ln x} \right|dx}  =  - \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^1 {\ln xdx}  + \int\limits_1^e {\ln xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S =  - \left( {\left. {x\ln x} \right|_{\dfrac{1}{e}}^1 - \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^1 {dx} } \right) + \left( {\left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - \left( {\dfrac{1}{e} - 1 + \dfrac{1}{e}} \right) + e - \left( {e - 1} \right) = 2 - \dfrac{2}{e}\end{array}\).

Chọn B

Câu 8: Trắc nghiệm ID: 247254

Cho \(I = \int\limits_0^{ - 1} {x{{(x - 1)}^2}dx} \) khi đặt \(t =  - x\) ta có: 

Xem đáp án

Đặt \(t =  - x \Rightarrow dt =  - dx \Leftrightarrow dx =  - dt\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x =  - 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^{ - 1} {x{{(x - 1)}^2}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( { - t} \right){{\left( { - t - 1} \right)}^2}\left( { - dt} \right)}  = \int\limits_0^1 {t{{\left( {t + 1} \right)}^2}dt} \)

Chọn D

Câu 9: Trắc nghiệm ID: 247255

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {\dfrac{z}{{z - 1}}} \right| = 3\) là: 

Xem đáp án

Ta có : \(\left| {\dfrac{z}{{z - 1}}} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| z \right| = 3\left| {z - 1} \right| \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 9{\left| {z - 1} \right|^2}\).

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2},{\left| {z - 1} \right|^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2}\).

Khi đó \({a^2} + {b^2} = 9\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \right]\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9\left( {{a^2} - 2a + 1 + {b^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 8{a^2} + 8{b^2} - 18a + 9 = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - \dfrac{9}{4}a + \dfrac{9}{8} = 0\)

 Vậy tập hợp điểm là đường tròn \({x^2} + {y^2} - \dfrac{9}{4}x + \dfrac{9}{8} = 0\).

Chọn B

Câu 10: Trắc nghiệm ID: 247256

Cho hình trụ \(\left( T \right)\)có chiều cao \(h\), độ dài đường sinh \(l\), bán kính đáy \(r\). Ký hiệu \({S_{xq}}\) là diện tích xung quanh của \(\left( T \right)\). Công thức nào sau đây là đúng? 

Xem đáp án

Hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\) thì có diện tích xung quanh là \(S = 2\pi rl.\)

Chọn A

Câu 11: Trắc nghiệm ID: 247257

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = (0;1;3);\overrightarrow b  = ( - 2;3;1)\). Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow x \) biết \(\overrightarrow x  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b \) 

Xem đáp án

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {0;1;3} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( { - 2;3;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow x  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  = 3\left( {0;1;3} \right) + 2\left( { - 2;3;1} \right) = \left( { - 4;9;11} \right)\).

Chọn C

Câu 12: Trắc nghiệm ID: 247258

Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 10 = 0\). Khi đó giá trị của \(P = {z_1} + {z_2} - {z_1}.{z_2}\) là: 

Xem đáp án

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = 10\end{array} \right. \Rightarrow P = \left( {{z_1} + {z_2}} \right) - {z_1}.{z_2} = 4 - 10 =  - 6\) .

Chọn C

Câu 13: Trắc nghiệm ID: 247259

Nếu \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln c} \) với \(c \in \mathbb{Q}\) thì giá trị của \(c\) bằng: 

Xem đáp án

Ta có : \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}}}  = \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \dfrac{1}{2}\left( {\ln 9 - \ln 1} \right) = \ln 3\). Vậy \(c = 3\).

Chọn B

Câu 14: Trắc nghiệm ID: 247260

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba  điểm \(A(2; - 1;2);B(3;1; - 1);C(2;0;2).\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)đi qua ba điểm A, B, C. 

Xem đáp án

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;0;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(C\left( {2;0;2} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;0;1} \right)\) có phương trình là

\(3\left( {x - 2} \right) + 0.y + z - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x + z - 8 = 0\)

Chọn A

Câu 15: Trắc nghiệm ID: 247261

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

Xem đáp án

Đáp án A: sai vì không có tính chất tích phân của tích bằng tích các tích phân.

Đáp án B: sai vì \(\int\limits_{ - 1}^1 {dx}  = \left. x \right|_{ - 1}^1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\).

Đáp án C: Đúng.

Đáp án D: sai vì chọn \(f\left( x \right) = 1 - 2x\) thì \(\int\limits_0^1 {\left( {1 - 2x} \right)dx}  = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 = 0\) nhưng \(f\left( x \right)\) không là hàm số lẻ.

Chọn C

Câu 16: Trắc nghiệm ID: 247262

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm M biểu diễn số phức \(z = 4 - i\) là:  

Xem đáp án

Điểm biểu diễn số phức \(z = 4 - i\) là \(M\left( {4; - 1} \right).\)

Chọn C

Câu 17: Trắc nghiệm ID: 247263

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\) là: 

Xem đáp án

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z + 2 - i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + yi + 2 - i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

Chọn A

Câu 18: Trắc nghiệm ID: 247264

Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức z là:  

Xem đáp án

Số phức liên hợp của số phức \(z = 2 - 3i\) là \(\overline z  = 2 + 3i.\)

Chọn B

Câu 19: Trắc nghiệm ID: 247265

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: 

Xem đáp án

Đáp án A: đúng.

Đáp án B: đúng.

Đáp án C: sai vì \(\int\limits_a^b {f(x)dx}  =  - \int\limits_b^a {f(x)dx} \).

Đáp án D: đúng.

Chọn C

Câu 20: Trắc nghiệm ID: 247266

Tìm số  các số phức thỏa mãn điều kiện \({z^2} + 2\overline z  = 0\) 

Xem đáp án

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) thì số phức liên hợp \(\overline z  = x - yi\) và \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

Khi đó \({z^2} + 2\overline z  = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - 2\overline z  \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi =  - 2\left( {x - yi} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi =  - 2x + 2yi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} =  - 2x\\2xy = 2y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y\left( {x - 1} \right) = 0\\{x^2} - {y^2} =  - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.\\{x^2} - {y^2} =  - 2x\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(y = 0\) ta có \({x^2} =  - 2x \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Với \(x = 1\) ta có \({1^2} - {y^2} =  - 2.1 \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt 3 \)

Vậy các số phức thỏa mãn là \(z = 0;z =  - 2;z = 1 + \sqrt 3 i;z = 1 - \sqrt 3 i.\)

Chọn B

Câu 21: Trắc nghiệm ID: 247267

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(2;2; - 1);B( - 4;2; - 9)\) . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. 

Xem đáp án

Ta có : \(A\left( {2;2; - 1} \right),B\left( { - 4;2; - 9} \right)\)\( \Rightarrow I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) là trung điểm của \(AB\) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 9 + 1} \right)}^2}}  = 10\).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\) nên có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {5^2} = 25\).

Chọn B

Câu 22: Trắc nghiệm ID: 247268

Gọi S là tập nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức. Số tập con của S là: 

Xem đáp án

Phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\) là phương trình bậc 2 trên tập số phức nên luôn có 2 nghiệm.

Suy ra tập \(S\) có hai phần tử nên số tập con của \(S\) là \({2^2} = 4.\)

Chọn D

Câu 23: Trắc nghiệm ID: 247269

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A(3;2;1)\). Tính khoảng cách từ A đến trục Oy. 

Xem đáp án

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\) đến trục \(Oy\) là \(d = \sqrt {{3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \).

Chọn B

Câu 24: Trắc nghiệm ID: 247270

Tìm nguyên hàm của hàm số  \(y = {x^3}\)? 

Xem đáp án

Ta có \(\int {{x^3}dx = \dfrac{1}{4}{x^4} + C} \)

Chọn B

Câu 25: Trắc nghiệm ID: 247271

Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập hợp số phức , ta có tập nghiệm S là: 

Xem đáp án

Phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 2 =  - 1 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \({z_{1,2}} =  - 1 \pm i\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1 + i; - 1 - i} \right\}\).

Chọn C

Câu 26: Trắc nghiệm ID: 247272

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), biết rằng \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx = 17} \) và \(f(0) = 5\). Tìm \(f(1)\). 

Xem đáp án

Ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx = 17}  \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = 17 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 17\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = f\left( 0 \right) + 17 = 5 + 17 = 22.\end{array}\)

Chọn C

Câu 27: Trắc nghiệm ID: 247273

Thu gọn số phức \(z = i + (2 - 4i) - (3 - 2i)\), ta được:

Xem đáp án

Ta có: \(z = i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right) = i + 2 - 4i - 3 + 2i = \left( {2 - 3} \right) + \left( {i - 4i + 2i} \right) =  - 1 - i\).

Chọn A.

Câu 28: Trắc nghiệm ID: 247274

Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 5 = 0\). Khi đó giá trị của \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) 

Xem đáp án

Ta có \({z^2} - 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4z + 4 =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 2 = i\\z - 2 =  - i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = 2 - i\end{array} \right.\)

Suy ra \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {{2^2} + {1^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \right)^2} = 10.\)

Chọn D

Câu 29: Trắc nghiệm ID: 247275

Biết  \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(x)dx = 4} \). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} dx\) bằng: 

Xem đáp án

Ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)} dx - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = I - J\)

Tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2}}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}.4 = 2\).

Tính \(J = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx =  - \left. {\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} =  - \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right) = 1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(I - J = 2 - \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn D

Câu 30: Trắc nghiệm ID: 247276

Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = \cos (3x - 2)\)? 

Xem đáp án

Ta có \(\int {\cos \left( {3x - 2} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) + C\)

Chọn D

Câu 31: Trắc nghiệm ID: 247277

Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng \(2a\)? 

Xem đáp án

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh \(2a\) là \(R = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Chọn D

Câu 32: Trắc nghiệm ID: 247278

Cho số phức z thỏa mãn :\(\left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i\). Môđun của số phức \({\rm{w}} = z + 1 - 2i\) là: 

Xem đáp án

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{2(1 + 2i)}}{{1 + i}} = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{\left( {2 + 4i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = 7 + 8i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + 3 + i = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 4 + 7i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 7i}}{{2 + i}} = \dfrac{{\left( {4 + 7i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}} = 3 + 2i\end{array}\)

Suy ra \(w = z + 1 - 2i = 3 + 2i + 1 - 2i = 4 \Rightarrow \left| w \right| = 4.\)

Chọn D

Câu 33: Trắc nghiệm ID: 247279

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba  điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right);\,B\left( {3; - 1;2} \right);\,\,C\left( {6;0;1} \right)\).Tìm tọa độ của điểm D để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. 

Xem đáp án

Gọi tọa độ điểm \(D\left( {x;y;z} \right)\) ta có:

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 1 = 6 - x\\ - 1 - 2 = 0 - y\\2 - \left( { - 1} \right) = 1 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;3; - 2} \right)\).

Chọn A

Câu 34: Trắc nghiệm ID: 247280

Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 10 = 0\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi \(2\pi \sqrt 3 \). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\): 

Xem đáp án

Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1.2 - 2.2 - \left( { - 5} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 3\)

Bán kính đường tròn giao tuyến là \(r\) thì chu vi đường tròn giao tuyến là \(C = 2\pi r = 2\pi \sqrt 3  \Rightarrow r = \sqrt 3 \)

Bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{r^2} + {d^2}}  = \sqrt {3 + {3^2}}  = 2\sqrt 3 .\)

Phương trình mặt cầu là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)

Chọn B

Câu 35: Trắc nghiệm ID: 247281

Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = x.{e^x}\)? 

Xem đáp án

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow \int {x{e^x}dx}  = x{e^x} - \int {{e^x}dx}  = x{e^x} - {e^x} + C\).

Chọn B

Câu 36: Trắc nghiệm ID: 247282

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(1;2; - 3)\) biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua  \(A(1;0;4)\). 

Xem đáp án

Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {53} \)

Mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\) có bán kính \(R = IA = \sqrt {53} \) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53.\)

Chọn D

Câu 37: Trắc nghiệm ID: 247283

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên d: 

Xem đáp án

Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và vuông góc \(d\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 1;1} \right)\) làm VTPT.

Khi đó \(\left( P \right):3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(3x - y + z - 4 = 0\).

Hình chiếu \(H\) của \(A\) lên \(d\) chính là giao điểm của \(d\) với \(\left( P \right)\).

Do đó \(H\left( {2 + 3t;1 - t; - 1 + t} \right) \in \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) - \left( {1 - t} \right) + \left( { - 1 + t} \right) - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow H\left( {2;1; - 1} \right)\).

Chọn D

Câu 38: Trắc nghiệm ID: 247284

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\)và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\left( {m - 4} \right)x + 3y - 3mz + 2m - 8 = 0\). Với giá trị nào của m thì \(\left( \alpha  \right)\) tiếp  xúc với \(\left( S \right)\)? 

Xem đáp án

Mặt cầu \(\left( S \right):{(x + 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z + 1)^2} = 3\) có tâm \(I\left( { - 3;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \)

Để \(\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) thì \(d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {m - 4} \right).\left( { - 3} \right) + 3.1 - 3m.\left( { - 1} \right) + 2m - 8} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 3m} \right)}^2}} }} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \left| {2m + 7} \right| = \sqrt 3 .\sqrt {10{m^2} - 8m + 25} \)\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 28m + 49 = 30{m^2} - 24m + 75\)

\( \Leftrightarrow 26{m^2} - 52m + 26 = 0 \Leftrightarrow 26{\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Chọn A

Câu 39: Trắc nghiệm ID: 247285

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 2z - 15 = 0\) và điểm \(M(1;2; - 3)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua M và song song với \(\left( P \right)\) 

Xem đáp án

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {2; - 3;2} \right)\).

\(\left( Q \right)\) đi qua \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) nên \(\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(\left( Q \right):2x - 3y + 2z + 10 = 0\).

Chọn C

Câu 40: Trắc nghiệm ID: 247286

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z + 2 = 0\) . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)? 

Xem đáp án

Mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z + 2 = 0\) có 1 VTPT là  \(\overrightarrow n  = (3;2; - 1)\)

Chọn C

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »