Đề thi HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022 - Trường THPT Ngô Gia Tự
Đề thi HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022 - Trường THPT Ngô Gia Tự
-
Hocon247
-
40 câu hỏi
-
60 phút
-
99 lượt thi
-
Dễ
Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \({z^2} + {(\overline z )^2} = 0\) là:
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) ta có :
\(\begin{array}{l}{z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2{b^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn bài toán là các đường thẳng \(y = x\) và \(y = - x\) chính là các đường phân giác của các góc phần tư.
Chọn D
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = \sin (x - 1)\)?
Ta có \(\int {\sin \left( {x - 1} \right)dx = - \cos \left( {x - 1} \right) + C} \).
Chọn A
Cho số phức \(z = 2 - i\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Số phức \(z = 2 - i\) có phần thực bằng \(2\).
Chọn A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\). Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của \(\left( S \right)\):
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\) suy ra tâm \(I\left( {1;3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = 4.\)
Chọn C
Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc \(20m/s\) thì người lái xe phát hiện có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45m( tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)vì vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) = - 5t + 20(m/s)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét( tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)?
Khi xe dừng hẳn thì \(v = 0 \Rightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4s\).
Quãng đường ô tô đi được trong \(4s\) là : \(S = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt} = \left. {\left( { - \dfrac{{5{t^2}}}{2} + 20t} \right)} \right|_0^4 = 40m\).
Xe ô tô còn cách hàng rào: \(45 - 40 = 5m\).
Chọn A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A( - 3;2;2);B( - 5;3;7)\)và mặt phẳng (P) : \(x + y + z = 0\). Điểm \(M(a;b;c)\)thuộc \(\left( P \right)\)sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(T = 2a + b - c\)
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \)
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 3 - x;2 - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB} = \left( { - 5 - x;3 - y;7 - z} \right)\)
Suy ra \(2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3 - x} \right) = - 5 - x\\2\left( {2 - y} \right) = 3 - y\\2\left( {2 - z} \right) = 7 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 3} \right)\)
Khi đó ta có \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)
Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất khi \(IM\) nhỏ nhất.
Nhận thấy \(I \notin \left( P \right) \Rightarrow IM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
+ Đường thẳng \(d\) qua \(I\left( { - 1;1; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) làm VTCP là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + t\\z = - 3 + t\end{array} \right.\)
+ \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + t\\z = - 3 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\\ - 1 + t + 1 + t - 3 + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 0\\y = 2\\z = - 2\end{array} \right.\) suy ra \(M\left( {0;2; - 2} \right)\)
\(T = 2a + b - c = 2.0 + 2 - \left( { - 2} \right) = 4.\)
Chọn C
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x,x = e,x = \dfrac{1}{e}\) và trục hoành
Ta có : \(S = \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^e {\left| {\ln x} \right|dx} = - \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^1 {\ln xdx} + \int\limits_1^e {\ln xdx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = x\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = - \left( {\left. {x\ln x} \right|_{\dfrac{1}{e}}^1 - \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^1 {dx} } \right) + \left( {\left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \left( {\dfrac{1}{e} - 1 + \dfrac{1}{e}} \right) + e - \left( {e - 1} \right) = 2 - \dfrac{2}{e}\end{array}\).
Chọn B
Cho \(I = \int\limits_0^{ - 1} {x{{(x - 1)}^2}dx} \) khi đặt \(t = - x\) ta có:
Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx \Leftrightarrow dx = - dt\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = - 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^{ - 1} {x{{(x - 1)}^2}dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - t} \right){{\left( { - t - 1} \right)}^2}\left( { - dt} \right)} = \int\limits_0^1 {t{{\left( {t + 1} \right)}^2}dt} \)
Chọn D
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {\dfrac{z}{{z - 1}}} \right| = 3\) là:
Ta có : \(\left| {\dfrac{z}{{z - 1}}} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| z \right| = 3\left| {z - 1} \right| \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 9{\left| {z - 1} \right|^2}\).
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2},{\left| {z - 1} \right|^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2}\).
Khi đó \({a^2} + {b^2} = 9\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \right]\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9\left( {{a^2} - 2a + 1 + {b^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 8{a^2} + 8{b^2} - 18a + 9 = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - \dfrac{9}{4}a + \dfrac{9}{8} = 0\)
Vậy tập hợp điểm là đường tròn \({x^2} + {y^2} - \dfrac{9}{4}x + \dfrac{9}{8} = 0\).
Chọn B
Cho hình trụ \(\left( T \right)\)có chiều cao \(h\), độ dài đường sinh \(l\), bán kính đáy \(r\). Ký hiệu \({S_{xq}}\) là diện tích xung quanh của \(\left( T \right)\). Công thức nào sau đây là đúng?
Hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\) thì có diện tích xung quanh là \(S = 2\pi rl.\)
Chọn A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = (0;1;3);\overrightarrow b = ( - 2;3;1)\). Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow x \) biết \(\overrightarrow x = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \)
Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {0;1;3} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2;3;1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow x = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = 3\left( {0;1;3} \right) + 2\left( { - 2;3;1} \right) = \left( { - 4;9;11} \right)\).
Chọn C
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 10 = 0\). Khi đó giá trị của \(P = {z_1} + {z_2} - {z_1}.{z_2}\) là:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = 10\end{array} \right. \Rightarrow P = \left( {{z_1} + {z_2}} \right) - {z_1}.{z_2} = 4 - 10 = - 6\) .
Chọn C
Nếu \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln c} \) với \(c \in \mathbb{Q}\) thì giá trị của \(c\) bằng:
Ta có : \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}}} = \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \dfrac{1}{2}\left( {\ln 9 - \ln 1} \right) = \ln 3\). Vậy \(c = 3\).
Chọn B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(2; - 1;2);B(3;1; - 1);C(2;0;2).\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)đi qua ba điểm A, B, C.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;0;1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(C\left( {2;0;2} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;0;1} \right)\) có phương trình là
\(3\left( {x - 2} \right) + 0.y + z - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x + z - 8 = 0\)
Chọn A
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
Đáp án A: sai vì không có tính chất tích phân của tích bằng tích các tích phân.
Đáp án B: sai vì \(\int\limits_{ - 1}^1 {dx} = \left. x \right|_{ - 1}^1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\).
Đáp án C: Đúng.
Đáp án D: sai vì chọn \(f\left( x \right) = 1 - 2x\) thì \(\int\limits_0^1 {\left( {1 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 = 0\) nhưng \(f\left( x \right)\) không là hàm số lẻ.
Chọn C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm M biểu diễn số phức \(z = 4 - i\) là:
Điểm biểu diễn số phức \(z = 4 - i\) là \(M\left( {4; - 1} \right).\)
Chọn C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\) là:
Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {z + 2 - i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + yi + 2 - i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\end{array}\)
Vậy tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)
Chọn A
Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức z là:
Số phức liên hợp của số phức \(z = 2 - 3i\) là \(\overline z = 2 + 3i.\)
Chọn B
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:
Đáp án A: đúng.
Đáp án B: đúng.
Đáp án C: sai vì \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} \).
Đáp án D: đúng.
Chọn C
Tìm số các số phức thỏa mãn điều kiện \({z^2} + 2\overline z = 0\)
Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) thì số phức liên hợp \(\overline z = x - yi\) và \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
Khi đó \({z^2} + 2\overline z = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - 2\overline z \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - 2\left( {x - yi} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - 2x + 2yi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 2x\\2xy = 2y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y\left( {x - 1} \right) = 0\\{x^2} - {y^2} = - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.\\{x^2} - {y^2} = - 2x\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 0\) ta có \({x^2} = - 2x \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
Với \(x = 1\) ta có \({1^2} - {y^2} = - 2.1 \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 \)
Vậy các số phức thỏa mãn là \(z = 0;z = - 2;z = 1 + \sqrt 3 i;z = 1 - \sqrt 3 i.\)
Chọn B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(2;2; - 1);B( - 4;2; - 9)\) . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Ta có : \(A\left( {2;2; - 1} \right),B\left( { - 4;2; - 9} \right)\)\( \Rightarrow I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) là trung điểm của \(AB\) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 9 + 1} \right)}^2}} = 10\).
Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\) nên có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {5^2} = 25\).
Chọn B
Gọi S là tập nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức. Số tập con của S là:
Phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\) là phương trình bậc 2 trên tập số phức nên luôn có 2 nghiệm.
Suy ra tập \(S\) có hai phần tử nên số tập con của \(S\) là \({2^2} = 4.\)
Chọn D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A(3;2;1)\). Tính khoảng cách từ A đến trục Oy.
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\) đến trục \(Oy\) là \(d = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Chọn B
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = {x^3}\)?
Ta có \(\int {{x^3}dx = \dfrac{1}{4}{x^4} + C} \)
Chọn B
Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập hợp số phức , ta có tập nghiệm S là:
Phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 2 = - 1 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \({z_{1,2}} = - 1 \pm i\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1 + i; - 1 - i} \right\}\).
Chọn C
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), biết rằng \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx = 17} \) và \(f(0) = 5\). Tìm \(f(1)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx = 17} \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = 17 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 17\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = f\left( 0 \right) + 17 = 5 + 17 = 22.\end{array}\)
Chọn C
Thu gọn số phức \(z = i + (2 - 4i) - (3 - 2i)\), ta được:
Ta có: \(z = i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right) = i + 2 - 4i - 3 + 2i = \left( {2 - 3} \right) + \left( {i - 4i + 2i} \right) = - 1 - i\).
Chọn A.
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 5 = 0\). Khi đó giá trị của \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\)
Ta có \({z^2} - 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4z + 4 = - 1 \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 2 = i\\z - 2 = - i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = 2 - i\end{array} \right.\)
Suy ra \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {{2^2} + {1^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \right)^2} = 10.\)
Chọn D
Biết \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(x)dx = 4} \). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} dx\) bằng:
Ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)} dx - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = I - J\)
Tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)dx} \).
Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}.4 = 2\).
Tính \(J = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = - \left. {\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = - \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right) = 1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(I - J = 2 - \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn D
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = \cos (3x - 2)\)?
Ta có \(\int {\cos \left( {3x - 2} \right)dx} = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) + C\)
Chọn D
Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng \(2a\)?
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh \(2a\) là \(R = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Chọn D
Cho số phức z thỏa mãn :\(\left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i\). Môđun của số phức \({\rm{w}} = z + 1 - 2i\) là:
Ta có
\(\begin{array}{l}\left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{2(1 + 2i)}}{{1 + i}} = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{\left( {2 + 4i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = 7 + 8i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + 3 + i = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 4 + 7i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 7i}}{{2 + i}} = \dfrac{{\left( {4 + 7i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}} = 3 + 2i\end{array}\)
Suy ra \(w = z + 1 - 2i = 3 + 2i + 1 - 2i = 4 \Rightarrow \left| w \right| = 4.\)
Chọn D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right);\,B\left( {3; - 1;2} \right);\,\,C\left( {6;0;1} \right)\).Tìm tọa độ của điểm D để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Gọi tọa độ điểm \(D\left( {x;y;z} \right)\) ta có:
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 1 = 6 - x\\ - 1 - 2 = 0 - y\\2 - \left( { - 1} \right) = 1 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;3; - 2} \right)\).
Chọn A
Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 10 = 0\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi \(2\pi \sqrt 3 \). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\):
Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1.2 - 2.2 - \left( { - 5} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 3\)
Bán kính đường tròn giao tuyến là \(r\) thì chu vi đường tròn giao tuyến là \(C = 2\pi r = 2\pi \sqrt 3 \Rightarrow r = \sqrt 3 \)
Bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{r^2} + {d^2}} = \sqrt {3 + {3^2}} = 2\sqrt 3 .\)
Phương trình mặt cầu là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)
Chọn B
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = x.{e^x}\)?
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) .
\( \Rightarrow \int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} - {e^x} + C\).
Chọn B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(1;2; - 3)\) biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A(1;0;4)\).
Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {53} \)
Mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\) có bán kính \(R = IA = \sqrt {53} \) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53.\)
Chọn D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên d:
Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và vuông góc \(d\) nên nhận \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 1;1} \right)\) làm VTPT.
Khi đó \(\left( P \right):3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(3x - y + z - 4 = 0\).
Hình chiếu \(H\) của \(A\) lên \(d\) chính là giao điểm của \(d\) với \(\left( P \right)\).
Do đó \(H\left( {2 + 3t;1 - t; - 1 + t} \right) \in \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) - \left( {1 - t} \right) + \left( { - 1 + t} \right) - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow H\left( {2;1; - 1} \right)\).
Chọn D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\)và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\left( {m - 4} \right)x + 3y - 3mz + 2m - 8 = 0\). Với giá trị nào của m thì \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\)?
Mặt cầu \(\left( S \right):{(x + 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z + 1)^2} = 3\) có tâm \(I\left( { - 3;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \)
Để \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) thì \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {m - 4} \right).\left( { - 3} \right) + 3.1 - 3m.\left( { - 1} \right) + 2m - 8} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 3m} \right)}^2}} }} = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \left| {2m + 7} \right| = \sqrt 3 .\sqrt {10{m^2} - 8m + 25} \)\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 28m + 49 = 30{m^2} - 24m + 75\)
\( \Leftrightarrow 26{m^2} - 52m + 26 = 0 \Leftrightarrow 26{\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Chọn A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 2z - 15 = 0\) và điểm \(M(1;2; - 3)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua M và song song với \(\left( P \right)\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 3;2} \right)\).
\(\left( Q \right)\) đi qua \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) nên \(\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(\left( Q \right):2x - 3y + 2z + 10 = 0\).
Chọn C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z + 2 = 0\) . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
Mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z + 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = (3;2; - 1)\)
Chọn C