Hình đã cho có \(11\) mặt.

Chọn C.

\(\dfrac{{{a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} = \dfrac{{{a^{\dfrac{{17}}{{12}}}}}}{{{a^{\dfrac{1}{6}}}}} = {a^{\dfrac{5}{4}}}\)

Chọn B.

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f(x)\), ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Chọn A.

\({S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 2{a^2}\)

Gọi \(O = AC \cap BD\)\( \Rightarrow \)\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow \)\(SO\) là đường cao của chóp, \(AC = AB\sqrt 2  = 2a\)

\(SO\) là đường cao trong tam giác đều \(SAC\)\( \Rightarrow \)\(SO = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

Chọn C.

\(V = B.h\) \( \Rightarrow \) \(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{{12{a^3}}}{{4{a^2}}} = 3a\).

Chọn C.

Dựa vào đồ thị ta thấy : \(M = 5\), \(m =  - 1\)\( \Rightarrow \)\(M - m = 6\).

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).

Chọn A.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}} =  - \infty  \Rightarrow x =  - 3\) là một đường tiệm cận đứng.

Chọn C.

Hàm số xác định khi \(3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{3}\).       

Vậy tập xác định của hàm số là: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{3}} \right\}\).

Chọn D.

Hàm số xác định khi \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\).

Vậy tập xác định của hàm số là: \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Ta có: \(\dfrac{{{{\left( {{a^{\sqrt 7  + 1}}} \right)}^3}}}{{{a^{\sqrt 7  - 4}}.{a^{2\sqrt 7  + 9}}}} = \dfrac{{{a^{3\sqrt 7  + 3}}}}{{{a^{3\sqrt 7  + 5}}}} = {a^{3 - 5}} = {a^{ - 2}}\).

Chọn D.

Ta có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow \) Diện tích đáy là: \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Chiều cao khối lăng trụ là: \(AA' = \sqrt 6 a\).

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = \sqrt 6 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\).

Chọn C.

Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2\) và \({y_{CD}} = 1\).

Chọn C.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại \(\left( {1;4} \right)\).

Chọn D.

Đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = 1\) nên loại A, B, C.

Chọn D.

Khối bát diện đều có \(6\) đỉnh.

Chọn A.

Ta có: \({\log _a}\left( {{b^3}{c^4}} \right) = 3{\log _a}b + 4{\log _a}c\)\( = 3.3 + 4.\left( { - 4} \right) =  - 7\)

Chọn A.

Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\). \(y' = 3{x^2} - 6mx - \left( {12m - 15} \right)\).

Ycbt \( \Leftrightarrow {\Delta _{y'}} \le 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 \le 0 \Leftrightarrow  - 5 \le m \le 1\).

Do \(m\) nguyên nên \(m\) có \(7\) giá trị là \( - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1\).

Chọn D.

Đồ thị đã cho là dáng đồ thị hàm bậc ba có hệ số \(a < 0\).

Chọn B.

\(y' = x'\ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + x.\dfrac{1}{x} \\= \ln x + 1\)

Chọn B.

Ta có: \({\log _5}{a^6} = 6{\log _5}a\)

Chọn D.

Đáp án A: TCN \(y = \dfrac{1}{3}\) loại.

Đáp án B: TCN \(y = 2\) loại.

Đáp án C: TCN \(y = \dfrac{3}{2}\) loại.

Đáp án D: TCN \(y = 3\) đi qua \(A\left( {2;3} \right)\).

Chọn D.

Ta có: \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) \( \Rightarrow S = \dfrac{{3V}}{h} = \dfrac{{3.10{a^3}}}{{5a}} = 6{a^2}\).

Chọn B.

Ta có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 2 a\) \( \Rightarrow \) Diện tích đáy là: \(2{a^2}\).

Chiều cao khối chóp là: \(SA = \sqrt 3 a\).

Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD'}} = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.\sqrt 3 a = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

Chọn C.

Ta có \(3f\left( x \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{3} \in \left( { - 1;3} \right)\).

Suy ra phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 3\) nên \(y = 3\) là đường tiệm cận ngang.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \)nên \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng.

Vậy hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Chọn B.

Đặt \(V = {V_{S.ABC}} = 24{a^3}\).

Ta có \({V_{S.MNC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMC}} - {V_{B.MNC}}\)

Mà \(\dfrac{{{V_{S.AMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AS}}{{AS}}.\dfrac{{AC}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMC}} = \dfrac{1}{2}V\)

\(\dfrac{{{V_{B.MNC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \dfrac{{BM}}{{BA}}.\dfrac{{BN}}{{BS}}.\dfrac{{BC}}{{BC}}\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.1 = \dfrac{1}{6}\) \( \Rightarrow {V_{B.MNC}} = \dfrac{1}{6}V\)

\( \Rightarrow {V_{S.MNC}} = V - \dfrac{1}{2}V - \dfrac{1}{6}V\) \( = \dfrac{1}{3}V = 8{a^3}\)

Chọn A.

Ta có:

\({V_{O.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{S_{A'B'C'D'}}.{d_{\left( {O,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{V}{3}\)

Chọn A.

Ta có \(y' =  - 2f'\left( {1 - 2x} \right)\).

\( - 2f'\left( {1 - 2x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x > 1\\ - 3 < 1 - 2x <  - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\1 < x < 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).

Chọn D.

Hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\) xác định và liên tục trên \(\left[ {3;5} \right]\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+ Xét \( - 2 - m > 0 \Leftrightarrow m <  - 2\,\,\left( * \right)\).

Khi đó hàm số đồng biến trện \(\left[ {3;5} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3 + m\). Do đó \(3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1\)( không thỏa \(\left( * \right)\)).

+ Xét \( - 2 - m < 0 \Leftrightarrow m >  - 2\,\,\,\left( {**} \right)\).

Khi đó hàm số nghịch biến trện \(\left[ {3;5} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \dfrac{{5 + m}}{3}\). Do đó \(\dfrac{{5 + m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 7\)( thỏa \(\left( {**} \right)\)).

Vậy \(m = 7 > 5\).

Chọn A.

Ta có: \(y' = \dfrac{{{{2.3}^x} - \left( {2x + 1} \right){3^x}\ln 3}}{{{3^{2x}}}} = \dfrac{{2 - \left( {2x + 1} \right)\ln 3}}{{{3^x}}}\).

Chọn D.

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 3\end{array} \right.\).

Trong đó \(x = 0\) là nghiệm đơn, \(x =  - 3\) là nghiệm kép

Vậy hàm số có \(1\) điểm cực trị.

Chọn B.

Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5 \)

\(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}}  = \sqrt {14{a^2} - 5{a^2}}  = 3a\)

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.CC' = a.2a.3a = 6{a^3}\).

Chọn C.

Ta có:

\(y' = \dfrac{1}{4}{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - \dfrac{3}{4}}}.{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^\prime }\)\( = \dfrac{1}{4}{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)^{ - \dfrac{3}{4}}}.\left( {6x - 2} \right)\) \( = \dfrac{{\left( {3x - 1} \right){{\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{2}\)

Chọn B.

Ta có: \(y' =  - 6{x^2} + 6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Các điểm cực trị của đồ thị là \(A\left( {0; - 7} \right)\) và \(B\left( {1; - 6} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {0; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {OB}  = \left( {1; - 6} \right)\)

Vậy \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {0.\left( { - 6} \right) - 1.\left( { - 7} \right)} \right| = \dfrac{7}{2}\).

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là: \(\dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m\).

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\) (vì \(x = 2\) không thỏa phương trình).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 7} \right)x + 1 - 2m = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {m^2} + 2m + 41 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).

Gọi \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right).\) Khi đó: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{2}\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \)\( = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {\dfrac{{7 - m}}{2}} \right)}^2} - 4\left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right)} \) \( = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} \) \( = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 40} \)

\( \Rightarrow AB \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40}  = 5\sqrt 2 \).

Đẳng thức xảy ra khi \(m =  - 1\)

Chọn D.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.,y'' = 6x - 12\)

\(y'''\left( 3 \right) = 6 > 0\) \( \Rightarrow {x_{CT}} = 3,{y_{CT}} =  - 2\)

Suy ra đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \(\left( {3; - 2} \right)\).

Chọn A.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).

Khi đó ta có \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\). Ta có: \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \dfrac{{3a}}{4}\).

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \dfrac{{3a}}{2}\)

\(V = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

Chọn B.

Theo đề bài ta có: \({x^2} + 2mx + m + 20 > 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - m - 20 < 0 \Leftrightarrow  - 4 < m < 5\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Chọn B.

Cách 1:

Ta có: \({\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}\)\( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3{{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}\) \( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3 + {{\log }_2}5}}\) \( \Rightarrow c = 3\)

\(a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}} = a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{3 + {{\log }_2}5}}\)\( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + \left( {a{{\log }_2}5 + 3a - b} \right)}}{{3 + {{\log }_2}5}}\)

Suy ra: \(a{\log _2}5 + 3a - b = 2{\log _2}5\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\3a - b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\).

Vậy \(abc = 2.6.3 = 36\).

Cách 2:

Ta có: \({\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}\)\( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}}\) \( = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2\left( {{{\log }_2}40 - 3} \right)}}{{{{\log }_2}40}}\) \( = 2 + \dfrac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}\)

Suy ra: \(a = 2,\,b = 6,\,c = 3\).

Vậy \(abc = 2.6.3 = 36\).

Chọn B.