Ta có \(y^{\prime}=8 x^{3}, y^{\prime}>0 \Leftrightarrow x>0\)  

Nên hàm số đã cho đồng biến trên \((0 ;+\infty)\)

\(y^{\prime}=-3 x^{2} +6 x+1\) có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị.

\(\begin{aligned} &y^{\prime}=-3 x^{2}+6 x=0 \Leftrightarrow x=0 \text { (thỏa mãn) hoặc } x=2 \text { (loại) }\\ &y(-3)=54 ; y(0)=0 ; y(1)=2\\ &\text {Vậy: } \max\limits _{[-3 ; 1]} y=54\end{aligned}\)

Nhắc lại đồ thị hàm số \(y=\frac{a x+b}{c x+d}\) có đường tiệm cận ngang là \(y=\frac{a}{c}\) và đường tiệm cận đứng là \(x=\frac{-d}{c}\) .

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=-2 và tiệm cận ngang y=2

Khi x tiến tới \(+\infty\) thì y tiến tới \(+\infty\) , do đó hệ số của x³ phải dương  nên loại B, C

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;0) nên hàm số ở ý D không thỏa mãn

Giả sử chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp chữ nhật là a, b, c  .

Thể tích của khối hộp là V =abc  .

Khi tăng tất cả các cạnh của khối hộp lên gấp đôi thì thể tích khối hộp thu được là 

\(V^{\prime}=3 a \cdot 3 b \cdot 3 c=27 a b c=27 V\)

Ta có \(S_{\Delta B C}=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C=6a^2\)

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a\)

\(S B=\sqrt{S C^{2}-B C^{2}}=4a\)

Vậy \(V_{S . A B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A B C} \cdot S B=8 a^{3}(\mathrm{dvtt})\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số f(x)  đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 1) \text { và }(1 ;+\infty)\)

Dựa vào bản biến thiên, trên khoảng (-2;0) thì y'<0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0)

\(\begin{array}{l} \text { Ta có: } y=f\left(2-e^{x}\right) \Rightarrow y^{\prime}=-e^{x} f^{\prime}\left(2-e^{x}\right) \text { . } \\ f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l} 2-e^{x}=-1 \\ 2-e^{x}=1 \\ 2-e^{x}=4 \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x=\ln 3 \\ x=0 \\ e^{x}=-2(1) \end{array}\right.\right. \end{array}\)

Bảng xét dấu đạo hàm:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 0) ;(\ln 3 ;+\infty)\)

B thỏa

\(y^{\prime}=3 x^{2}+34 x-24=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-12 \\ x=\frac{2}{3} \end{array}\right.\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = −12 .

Hàm số \(y=-10 x^{4}-5 x^{2}+7 \text { có } y^{\prime}=-40 x^{3}-10 x=0 \Leftrightarrow x=0 \text { và } y^{\prime \prime}(0)=-10<0\)

nên hàm số đạt cực đại tại x = 0

\(\begin{array}{l} {f^\prime }(x) = (x + 1){(x - 2)^2}{(x - 3)^3}{(x + 5)^4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ {\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\ {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\\ {\left( {x + 5} \right)^4} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = x\\ x = 3\\ x = - 5 \end{array} \right. \end{array}\)

Trong đó x=-1 và x=3 là các nghiệm bội lẻ nên y' đổi dấu khi đi qua x=-1 và x=3. Vậy x=-1 và x=3 là hai cực trị.

Qua các nghiệm bội chẵn x=2 và x=-5 thì y' không đổi dấu nên x=2 và c=-5 không phải cực trị.

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Trên đồ thị hàm f'(x), khi đi qua x=3 thì y' đổi dấu từ âm sang dương nên x=3 là điểm cực tiểu của hàm số.

Qua x=1 thì y' không đổi sấu nên x=2 không phải cực trị.

Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.

\(\begin{array}{l} y^{\prime}=3 x^{2}-6 x+m \\ y^{\prime \prime}=6 x-6 \end{array}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi:

\(\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(2)=3.2^{2}-6.2+m=0 \\ y^{\prime \prime}(2)=6.2-6>0 \end{array} \Leftrightarrow m=0\right.\)

 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi \(\left\{\begin{array}{l} b^{2}-3 a c>0 \\ a \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 9+3(m-1)(m+1)>0 \\ m-1 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow m \neq 1\right.\right.\)

\(y^{\prime}=4 m x^{3}-2(m+1) x=0\)

\(\Leftrightarrow 2 x\left(2 m x^{2}-m-1\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \\ 2 m x^{2}=m+1 \end{array}\right.\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow m(m+1)>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m<-1 \\ m>0 \end{array}\right.\)

Ta có \(y^{\prime}=x^{2}+2 m x+m+6\)

Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow y^{\prime}=0\) có hai nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow m^{2}-m-6>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m<-2 \\ m>3 \end{array}\right.\)

Hàm số \(y=\frac{x^{3}}{3}+2 x^{2}+3 x-4\) xác định và liên tục trên [-4;0]

\(y^{\prime}=x^{2}+4 x+3, y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-1(n) \\ x=-3(n) \end{array} \right.\\ f(0)=-4, f(-1)=-\frac{16}{3}, f(-3)=-4, f(-4)=-\frac{16}{3}\)

Vậy \(M=-4, m=-\frac{16}{3} \text { nên } M+m=-\frac{28}{3}\)

TXĐ: \(D=[2 ;+\infty) \backslash\{3\}\)

\(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x-2}}{x^{2}-4 x+3}=0 \Rightarrow\) 

y=0 là tiệm cận ngang.

\(\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{\sqrt{x-2}}{x^{2}-4 x+3}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{\sqrt{x-2}}{x^{2}-4 x+3}=-\infty \Rightarrow\) x=3 là tiệm cận đứng.

vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y=2 ; \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=-1\) nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là \(y=2 ; y=-1\)

\(\mathrm{TXĐ}: D=\mathbb{R} \backslash\{-1\}\)

\(\lim _{x \rightarrow-1^{+}} y=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{x-1}{x+1}=-\infty \Rightarrow x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(S_{\Delta B C D}=\frac{1}{2} S_{A B C D}=\frac{a^{2}}{2} . \text { Suy ra } V_{S . A B C D}=\frac{1}{3} S A . S_{\Delta B C D}=\frac{1}{3} \cdot 2 a \cdot \frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{3}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \text { Ta có: } A C=2 a \cdot \sqrt{2} \Rightarrow O A=O B=\frac{A C}{2}=a \sqrt{2} \Rightarrow S_{O A B}=\frac{1}{2} O A \cdot O B=a^{2} \\ \text { Vậy }: V_{S . O A B}=\frac{1}{3} S A . S_{O A B}=\frac{1}{3} \cdot a \sqrt{2} \cdot a^{2}=\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^{3} \end{array}\)

Ta có \(V=\frac{1}{3} \cdot S_{S B C} \cdot S A=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot S B \cdot S C \cdot S A=\frac{1}{6} \cdot a^{3}\)

\(\begin{array}{l} \text { Do }\left\{\begin{array}{l} A D \perp C D \\ S A \perp C D \end{array} \Rightarrow C D \perp(S D A) \Rightarrow(S C D),(A B C)=\widehat{S D A}\right. \\ \text { Khi đó } S A=A D \tan 60^{\circ}=a \sqrt{3} \\ \text { Suy ra } V_{S . A B C D}=\frac{1}{3} S A \cdot S_{A B C D}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} \end{array}\)

Do \(\sqrt[2016]{x^{2016}}=|x| \text { nên } \sqrt[2016]{x^{2016}}=-x \Leftrightarrow|x|=-x \text { khi } x \leq 0\)

Theo định nghĩa căn bậc n của số b : Cho số thực n và số nguyên dương b \((n \geq 2)\) .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \(a^{n}=b\)

Nếu n chẵn và b>0  Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{b}\) , còn giá trị âm kí hiệu là \(-\sqrt[n]{b}\) . Nên có hai căn bậc 4 của 3 là \(\pm \sqrt[4]{3}\)

ĐKXĐ: \(4-x^{2}>0 \Leftrightarrow-2<x<2\)

\(\text { Do } 3,2>1 \text { nên } 3,2^{m}<3,2^{n} \Leftrightarrow m<n\)

\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } a=1+2^{-x}>1, \forall x \in \mathbb{R} \text { nên } 2^{x}=\frac{1}{a-1}\\ &\text { Do đó: } b=1+\frac{1}{a-1}=\frac{a}{a-1} \end{aligned}\)

ĐKXĐ: \(x+1>0 \Leftrightarrow x>-1\)

Ta có \(y=3^{\frac{x}{2}}=(\sqrt{3})^{x}\)

dựa vào lý thuyết Hai hàm số \(y=a^{x} \text { và } y=\log _{a} x\) có đồ thị đối xứng nhau qua đường  phân giác của góc phần tư thứ nhất y=x '' 

Vậy chọn A

Ta có \(3^{x^{3}-9 x+4}=81=3^{4} \Leftrightarrow x^{3}-9 x+4=4 \Leftrightarrow x\left(x^{2}-9\right)=0 \Leftrightarrow x \in\{0 ;\pm 3\}\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Đặt \(t=2^{x}(t>0)\), khi đó phương trình đã cho tương đương với

\(4 t^{2}-18 t+8=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=4 \\ t=\frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x_{1}=2 \\ x_{2}=-1 \end{array}\right.\right.\)

Vậy \(x_{1} \cdot x_{2}=-1.2=-2\)

\(\begin{aligned} &\text { Điều kiện } x>0\\ &\log _{\sqrt{3}} x-\log _{3}\left(2 x^{2}-4 x+3\right)=0 \Leftrightarrow 2 \log _{3} x-\log _{3}\left(2 x^{2}-4 x+3\right)=0 \Leftrightarrow \log _{3} x^{2}=\log _{3}\left(2 x^{2}-4 x+3\right)\\ &\Leftrightarrow x^{2}=2 x^{2}-4 x+3 \Leftrightarrow x^{2}-4 x+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x_{1}=1 \\ x_{2}=3 \end{array} \Rightarrow x_{1}+x_{2}=4\right. \end{aligned}\)

Thay x =-1vào phương trình ta có

\(\begin{array}{l} \log _{2+\sqrt{3}}(-m+3)+\log _{2-\sqrt{3}}\left(m^{2}+1\right)=0 \Leftrightarrow \log _{2+\sqrt{3}}(-m+3)+\log _{(2+\sqrt{3})^{-1}}\left(m^{2}+1\right)=0 \\ \Leftrightarrow \log _{2+\sqrt{3}}(-m+3)-\log _{(2+\sqrt{3})}\left(m^{2}+1\right)=0 \Leftrightarrow \log _{2+\sqrt{3}}(-m+3)=\log _{(2+\sqrt{3})}\left(m^{2}+1\right) \\ \Leftrightarrow-m+3=m^{2}+1 \Leftrightarrow m^{2}+m-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=1 \\ m=-2 \end{array}\right. \end{array}\)

\(AB=\sqrt {(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt {1+1+1}=\sqrt 3\)

\(\log _{\sqrt{3}}|x-1|=2 \Leftrightarrow|x-1|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=4 \\ x=-2 \end{array}\right.\)