Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$,  cho tứ diện \(ABCD\)  có \(A(2; - 1;1)\), \(B(3;0; - 1)\), \(C(2; - 1;3)\) và $D$ thuộc trục $Oy$ . Tính tổng tung độ của các điểm $D$, biết thể tích tứ diện bằng $5$ .

Đáp án đúng: a

Giả sử \(D\left( {0;y;0} \right) \in Oy\) ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC}  = (0;0;2),\overrightarrow {AD}  = ( - 2;y + 1; - 1)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)\)

Theo công thức tính thể tích ta có

\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|\)

Theo giả thiết ta có \({V_{ABCD}} = 5\), suy ra ta có:

\(\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 =  - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y =  - 18\end{array} \right.\)

Suy ra  \(D(0;12;0)\) hoặc \(D(0; - 18;0)\)

Do đó tổng tung độ của các điểm $D$ là \(12 + ( - 18) =  - 6\)

Hướng dẫn giải:

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:

Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\)

- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB}  = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD}  = ({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)  

- Sử dụng công thức tính tích có hướng:

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB}  = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD}  = ({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có:

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

- Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện

                           \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AD} } \right|\)

Giải thích thêm:

- Tính sai tọa độ các véc tơ.

- Nhầm lẫn các công thức tính tích có hướng và vô hướng.

- Nhớ sai công thức tính thể tích tứ diện.