Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ và $y = {x^3} + {x^2} + x + 1$ là:

Đáp án đúng: b

Phương trình hoành độ giao điểm: $3{x^2} = {x^3} + {x^2} + x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x + 1 = 0$.

Xét hàm $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x + 1$ ta có:

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 \hfill \\  x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{31}}{{27}} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = 0$ chỉ cắt đồ thị hàm số tại $1$ điểm duy nhất nên hai đồ thị hàm số cắt nhau tại duy nhất $1$ điểm.

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm  .

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ trên TXĐ.

+ Tính $h'\left( x \right)$, giải phương trình $h'\left( x \right) = 0$ tìm các nghiệm và các điểm $h'\left( x \right)$ không xác định.

+ Xét dấu $h'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.

- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$.

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $h\left( x \right)$ với trục hoành (đường thẳng $y = 0$)

Giải thích thêm:

HS thường nhầm lẫn khi thấy hàm bậc ba có 2 cực trị thì vội vàng kết luận phương trình có 3 nghiệm nên chọn nhầm đáp án D là sai.

Có thể có cách làm khác là dùng máy tính giải phương trình hoành độ giao điểm ta tìm đc 1 nghiệm nên kết luận có 1 giao điểm.