Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiXét số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| {z - 1 + i} \right|\). Tính \(P = m + M\).
A.
\(P = \sqrt {13} + \sqrt {73} \)
B.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\)
C.
\(P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} \)
D.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đáp án đúng: b
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$
Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì
$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB\end{array}$
Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB
Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$
Do đó \(P{C_{\min }}\) khi \(P\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\) và \(P{C_{\max }}\) khi \(P \equiv B\)
Suy ra $M = CB = \sqrt {73} $.
Ta có: \(AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)\( \Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}\)
$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
Hướng dẫn giải:
- Gọi $z = x + yi$ và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn bài toán.
- Biểu diễn tập hợp điểm đó trên hệ trục tọa độ từ đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức đã cho.
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$
Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì
$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB\end{array}$
Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB
Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$
Do đó \(P{C_{\min }}\) khi \(P\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\) và \(P{C_{\max }}\) khi \(P \equiv B\)
Suy ra $M = CB = \sqrt {73} $.
Ta có: \(AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)\( \Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}\)
$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
Hướng dẫn giải:
- Gọi $z = x + yi$ và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn bài toán.
- Biểu diễn tập hợp điểm đó trên hệ trục tọa độ từ đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức đã cho.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Anh A mua 1 chiếc Laptop giá $23$ triệu đồng theo hình thức trả góp, lãi suất mỗi tháng là $0,5\% $. Hỏi mỗi tháng anh A phải trả cho cửa hàng bao nhiêu tiền để sau $6$ tháng anh trả hết nợ?
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng \((P):x - y - z - 1 = 0\) và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}$. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A(1;1; - 2)\) vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các tia \(Ox;\,\,Oy;\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A;\,\,B;\,\,C\) \(\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)\) sao cho thể tích của tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:
Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp $S.ABC$?
Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\left( C \right).$ Tất cả các giá trị của m để (C) có 3 đường tiệm cận là:
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường \(x=\sqrt{y};\,y=-x+2,x=0\) quanh trục $Ox$ có giá trị là kết quả nào sau đây ?
Trong không gian $Oxyz$ cho ba vecto \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right),\vec c = \left( {1;1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $
Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
Gọi \(G\left( {4; - 1;3} \right)\) là tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\).
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r = 3cm\) và độ dài đường sinh \(4cm\) là:
