Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022 - Trường THPT Gia Định
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022 - Trường THPT Gia Định
-
Hocon247
-
40 câu hỏi
-
60 phút
-
87 lượt thi
-
Dễ
Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
.png)
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Chọn C
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({3^{2x - 3}} \ge 9\) là
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{3^{2x - 3}} \ge 9\\ \Leftrightarrow {3^{2x - 3}} \ge {3^2}\\ \Leftrightarrow 2x - 3 \ge {\log _3}{3^2}\\ \Leftrightarrow 2x - 3 \ge 2\\ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)\)
Chọn A
Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh \(2a\) và chiều cao bằng \(3a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Diện tích của đáy là hình vuông cạnh \(2a\) là \(S = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\)
Thể tích của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh \(2a\) và chiều cao bằng \(3a\) là :
\(V = \dfrac{1}{3}S.h = \dfrac{1}{3}.4{a^2}.3a = 4{a^3}\)
Chọn A
Gọi \(l,h,R\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình nón là:
Hình nón đã cho có \(l,h,R\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy nên ta có :
Diện tích đáy của hình nón là \({S_1} = \pi {R^2}\)
Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl\)
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = {S_1} + {S_{xq}} = \pi {R^2} + \pi Rl\)
Chọn D
Hàm số \(y = {\left( {2x - 4} \right)^{\dfrac{2}{3}}}\) có tập xác định là
Hàm số \(y = {\left( {2x - 4} \right)^{\dfrac{2}{3}}}\) xác định khi và chỉ khi \(2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
Chọn D
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty \) nên hàm số đã cho là hàm bậc 3, không thể là hàm bậc 4.
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty \) nên hệ số của \({x^3}\) dương.
Từ các phương án của bài cho ta thấy hàm số có đồ thị thỏa mãn là \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\)
Chọn B
Cho \(a\) là số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}\sqrt[4]{{{a^3}}}\)
Ta có :
\({\log _{{a^2}}}\sqrt[4]{{{a^3}}} = \dfrac{1}{2}{\log _a}{a^{\dfrac{3}{4}}} \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}{\log _a}a = \dfrac{3}{8}\)
Chọn C
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty \)
Chọn C
Cho \(a\) là số thực dương tùy ý, biểu thức \({a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{2}{5}}}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
Ta có : \({a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{2}{5}}} = {a^{\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{5}}} = {a^{\dfrac{{16}}{{15}}}}\)
Chọn B
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ sau:
.png)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)
Chọn A
Hình chóp tứ giác có số cạnh là:
Hình chóp tứ giác có số cạnh là \(2.4 = 8\) (cạnh)
Chọn A
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số bằng
Từ BBT đã cho ta thấy Hàm số đạt cực trị tại \(x = - 1\), \(x = 0\) và \(x = 1\)
Suy ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Chọn B
Gọi \(l,h,R\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ là
Hình trụ có chiều cao bằng độ dài đường sinh.
\(l,h,R\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy của hình trụ nên diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi Rl\)
Chọn B
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \({5^x} = 25\) là
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có : \({5^x} = 25 \Leftrightarrow x = {\log _5}25 \Leftrightarrow x = {\log _5}{5^2} \\\Leftrightarrow x = 2\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ 2 \right\}\)
Chọn B
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
Từ đồ thị của hàm số đã cho ta thấy:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \) nên hàm số đã cho là hàm bậc 4, không thể là hàm bậc 3
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên hệ số của \({x^4}\) nhỏ hơn 0.
Từ đáp án ta thấy hàm số có đồ thị thỏa mãn là \(y = - {x^4} + 4{x^3} + 1\)
Chọn A
Phương trình \({3^{2x + 1}} - {10.3^x} + 1\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{3^{2x + 1}} - {10.3^x} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {3.3^{2x}} - {10.3^x} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 3} \right)\left( {{{3.3}^x} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 3\\{3^x} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra \({x_1} + {x_2} = 0\)
Chọn A
Một hình nón có đường kính đường tròn đáy bằng \(10cm\) và chiều dài đường sinh bằng \(15cm\). Thể tích của khối nón bằng
Đường kính của đường tròn đáy bằng \(10\left( {cm} \right)\) nên bán kính của đường tròn đáy là \(r = 5\left( {cm} \right)\)
Gọi chiều cao của của khối nón là \(h\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}{h^2} + {5^2} = {15^2}\\ \Leftrightarrow h = 10\sqrt 2 \left( {cm} \right)\end{array}\)
Thể tích của khối nón có chiều cao bằng \(10\sqrt 2 \left( {cm} \right)\) và bán kính đường tròn đáy bằng \(5\left( {cm} \right)\) là:
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.5^2}.10\sqrt 2 \\= \dfrac{{250\sqrt 2 \pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn B
Đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\) có bao nhiêu điểm chung với trục \(Ox?\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) \\= \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\\y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình \(y = 0\) có 2 nghiệm phân biệt nên số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục \(Ox\) là 2.
Chọn A
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) - 7 = 0\) là:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có: \(2f\left( x \right) = 7 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{2}\)
Từ BBT đã cho ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = \dfrac{7}{2}\) có 4 nghiệm phân biệt thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( { - 2;0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {2; + \infty } \right)\)
Chọn B
Kim tự tháp Kheops thời Ai Cập cổ đại vừa xây xong có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(231\left( m \right)\), góc giữa mặt bên và mặt đáy khoảng \(51,74^\circ \). Thể tích kim tự tháp gần với giá trị nào sau đây?
Gọi khối chóp tứ giác đều đã cho là \(S.ABCD\)
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(H\) là trung điểm của \(CD\)
\(S.ABCD\) là khối chóp tứ giác đều nên chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với tâm của hình vuông hay \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
\(OH\) là đường trung bình trong tam giác \(ACD\) nên \(OH//AD \Rightarrow OH \bot CD\) (1)
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot CD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SOH} \right) \Leftrightarrow CD \bot SH\)
Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SH \subset \left( {SCD} \right),OH \subset \left( {ABCD} \right)\\SH \bot CD,OH \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SHO}\) \( \Rightarrow \widehat {SHO} = 51,74^\circ \)
Do đó ta có :
\(OH = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{231}}{2}\left( m \right),\)\(SO = OH.\tan SHO\) \( = \dfrac{{231}}{2}.\tan 51,74^\circ \approx 146,46\left( m \right)\)
Thể tích của khối chóp đã cho là :\(V = \dfrac{1}{3}.SO.A{B^2} = 2605057\left( {{m^3}} \right)\)
Chọn B
Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\). Tỉ số \(\dfrac{M}{m}\) bằng
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x - 12 = 6\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) có \({y_{CT}} = f\left( 1 \right) = - 5\) ; \(f\left( { - 1} \right) = 15;\) \(f\left( 2 \right) = 6\)
Suy ra \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} = f\left( { - 1} \right) = 15\), \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 5\)
Vậy \(\dfrac{M}{m} = \dfrac{{15}}{{ - 5}} = - 3\)
Chọn B
Cho \(a\) là số thực dương khác 1 và \(b\) là số thực khác 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có : \({\log _a}{b^4} = 4{\log _a}\left| b \right|\) do đề bào chỉ cho \(b \ne 0\), không cho \(b > 0\) nên mệnh đề sai là \(C\)
Chọn C
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 3a,AD = 4a\) và \(AC' = 10a\). Thể tích của khối hộp đã cho bằng
.png)
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên ta có :
\(AB \bot BC\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 5a\)
\(CC' \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow CC' \bot AC\) \( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {10a} \right)}^2} - {{\left( {5a} \right)}^2}} = 5\sqrt 3 a\)
Do đó thể tích của khối hộp trên là : \(V = CC'.AB.AD = 3a.4a.5\sqrt 3 a \\= 60\sqrt 3 {a^3}\)
Chọn D
Cho \({\log _2}7 = a;{\log _3}7 = b\). Giá trị của \({\log _6}7\) tính theo \(a\) và \(b\) là
Ta có :
\({\log _6}7 = \dfrac{1}{{{{\log }_7}6}} = \dfrac{1}{{{{\log }_7}\left( {2.3} \right)}} = \dfrac{1}{{{{\log }_7}2 + {{\log }_7}3}}\) \( = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\log }_2}7}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}7}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}\) \( = \dfrac{1}{{\dfrac{{a + b}}{{ab}}}} = \dfrac{{ab}}{{a + b}}\)
Chọn D
Hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\) nghịch biến trên
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 12x + 9 \\= 3\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 1\end{array} \right.\) ; \(y' < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\) nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
Chọn B
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}x - 2 > 0\) là
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\log _2^2x - {\log _2}x - 2 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 2} \right)\left( {{{\log }_2}x + 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x > 2\\{\log _2}x < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > {2^2}\\x < {2^{ - 1}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp TXĐ ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)
Chọn C
Cho phương trình \(\log _{\sqrt 2 }^2x - 3{\log _2}2x + 1 = 0\). Nếu đặt \(t = {\log _2}x\) thì được phương trình
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\log _{\sqrt 2 }^2x - 3{\log _2}2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \log _{{2^{\dfrac{1}{2}}}}^2x - 3\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x} \right)^2} - 3\left( {1 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 3{\log _2}x - 2 = 0\end{array}\)
Nếu đặt \(t = {\log _2}x\) thì phương trình trên trở thành \(4{t^2} - 3t - 2 = 0\)
Chọn C
Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
.png)
Gọi hình chóp đã cho là \(S.ABC\)
\(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA = SB = SC\\AC = BC = CA\end{array} \right.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\SM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)
Do đó \(B\) và \(C\) đối xứng với nhau qua mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) là mặt phẳng đối xứng của hình chóp.
Có tất cả 3 mặt phẳng như vậy. Các mặt phẳng đi qua \(S\) và trung tuyến của tam giác \(ABC\) là các mặt phẳng đối xứng.
Vậy hình chóp tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng.
Chọn A
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC = 3a,AC = 5a,\) cạnh bên \(A'A = 6a\). Thể tích khối lăng trụ bằng
\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'A \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = 4a\)
Diện tích tam giác vuông \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.3a.4a = 6{a^2}\)
Thể tích của lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là \(V = A'A.{S_{ABC}} = 6a.6{a^2} = 36{a^3}\)
Chọn C
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Ta có:
\(y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \) nên đồ thị hàm số nhân đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Chọn C
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)
BBT của hàm số đã cho như sau:
.png)
Từ BBT ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại là \(x = 2\) và 2 điểm cực tiểu là \(x = 1\) và \(x = 3\)
Chọn B
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
.png)
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
.png)
Từ BBT trên ta thấy :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) nên \(x = - 1\) là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên \(x = 1\) là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 3\) nên \(y = 3\) là 1 tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.
Chọn D
Cho hình nón có đỉnh \(S\) và bán kính đường tròn đáy \(R = a\sqrt 2 \), góc ở đỉnh bằng \(60^\circ \). Diện tích xung quanh của hình nón bằng
.png)
Gọi \(AB\) là một đường kính của đường tròn đáy, \(I\) là tâm của đường tròn đó.
Theo giả thiết \(R = IA = IB = a\sqrt 2 \)
Góc ở đỉnh bằng \(60^\circ \) nên \(\widehat {ASB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ASI} = \widehat {ISB} = 30^\circ \)
Tam giác \(SIA\) vuông tại \(I\) có \(\widehat {ASI} = 30^\circ \) nên \(l = SA = \dfrac{{AI}}{{\sin ASI}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sin 30^\circ }} = 2\sqrt 2 a\)
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a\sqrt 2 .2\sqrt 2 a = 4\pi {a^2}\)
Chọn B
Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\) là
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\) là :
\(y = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'}}{{\ln 2.\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}} = \dfrac{{2x - 2}}{{\ln 2.\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right).\ln 2}}\)
Chọn C
Một hình trụ có chu vi đường tròn đáy \(8\pi a\) và đường sinh có chiều dài bằng \(3a\). Thể tích của khối trụ bằng
Hình trụ đã cho có đường sinh có chiều dài bằng \(3a\) nên chiều cao của hình trụ bằng \(3a\)
Chu vi đáy của đường tròn đáy là \(8\pi a\) nên bán kính của đường tròn đáy là \(R = \dfrac{{8\pi a}}{{2\pi }} = 4a\)
Suy ra thể tích của khối trụ đã cho là : \(V = 3a.\pi .{\left( {4a} \right)^2} = 48\pi {a^3}\)
Chọn A
Cho các hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\), \(y = {x^\beta }\) và \(y = {x^\gamma }\) có đồ thị lần lượt là (1), (2) và (3) như hình vẽ.
.png)
Mệnh đề nào sau đây đúng
.png)
TXĐ : \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
Từ đồ thị các hàm số trên ta thấy :
Hàm số \(y = {x^\gamma }\) nghịch biến trên \(D\) nên \(\gamma < 0\)
Hàm số \(y = {x^\alpha }\) và \(y = {x^\beta }\) đồng biến trên \(D\) nên \(\alpha ,\beta > 0\)
Mặt khác, với mọi giá trị \(x > 1\) thì \({x^\alpha } > {x^\beta }\) nên \(\alpha > \beta \)
Vậy \(\gamma < 0 < \beta < \alpha \)
Chọn D
Tìm giá trị \(m\) để hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + m + 1\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 4 là
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + m + 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x = - 3\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 3x\left( {x - 2} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
BBT của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) như sau :
.png)
Từ BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = m + 1\)
Mà giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 4 nên \(m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 3\)
Chọn D
Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) nghịch biến trên một khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + m\end{array}\)
Phương trình \(f'\left( x \right)\) có hệ số \({x^2}\) dương nên để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có khoảng nghịch biến thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó
Khi đó phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}\end{array} \right.\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\)
Để khoảng nghịch biến có độ dài không nhỏ hơn 1 nên \({x_2} - {x_1} \ge 1\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}{x_2} - {x_1} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - 4\dfrac{m}{3} \ge 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4m}}{3} \le 3 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}\left( {t/m} \right)\end{array}\)
Chọn C
Năm 2018 dân số Việt Nam là \(96.961.884\) người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là \(0,98\% \). Biết rằng sự gia tăng dân số được tính theo công thức \(S = A.{e^{Nr}}\), trong đó \(A\) là dân số của năm lấy mốc tính, \(S\) là dân số sau \(N\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Với tỉ lệ tăng dân số như vậy thì ít nhất đến năm nào dân số nước ta đạt \(110\) triệu người?
Dân số nước ta đạt 110 triệu người nên ta có:
\(\begin{array}{l}S = 110000000\\ \Leftrightarrow A.{e^{N.r}} = 110000000\\ \Leftrightarrow 96961884.{e^{N.0,98\% }} = 110000000\\ \Leftrightarrow N = 12,87\end{array}\)
Như vậy, sau ít nhất 13 năm thì dân số nước ta đạt 110 triệu người hay đến năm 2031 thì dân số nước ta đạt 110 triệu người.
Chọn A
Một người gửi ngân hàng số tiền 200 triệu đồng với hình thức lãi kép theo quý là 2%/ quý. Hỏi sau đúng 3 năm người đó nhận được cả vốn lẫn lãi bao nhiêu tiến?
Đặt \(A = 200\) triệu đồng, \(x = 2\% \)/quý
Sau 1 quý, số tiền cả gốc và lãi nhận được là :
\({A_1} = A + A.x = A\left( {1 + x} \right)\)
Sau 2 quý, số tiền cả gốc và lãi nhận được là :
\({A_2} = {A_1} + {A_1}.x = {A_1}\left( {1 + x} \right) = A{\left( {1 + x} \right)^2}\)
……..
Sau \(n\) quý, số tiền cả gốc và lãi nhận được là \({A_n} = A{\left( {1 + x} \right)^n}\)
3 năm = 12 quý
Số tiền cả gốc lẫn lãi mà người đó nhận được sau 12 quý là :
\({A_{12}} = 200.{\left( {1 + 2\% } \right)^{12}} = 253,648\) (triệu đồng).
Chọn A