TXĐ:   \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = mx + m + 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) = \left( {mx + m + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m{x^2} + mx + mx + m + x + 1 = x - 1\\ \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

Suy ra   \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\m.{\left( { - 1} \right)^2} + 2m.\left( { - 1} \right) + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m\left( {m + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Với \(m < 0,\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2m}}{m}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m + 2}}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m + 2}}{m}\end{array} \right.\)

Suy ra, đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};m{x_1} + m + 1} \right);\,\,\,\,B\left( {{x_2};m{x_2} + m + 1} \right)\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}AB = 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {m{x_1} + m + 1} \right) - \left( {m{x_2} + m + 1} \right)} \right]}^2}}  = 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {m^2}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right){\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 20\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4.\dfrac{{m + 2}}{m}} \right] = 20\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\dfrac{{ - 8}}{m} = 20\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 8{m^2} - 8 = 20m\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{2}\\m =  - 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t/m} \right)\end{array}\)

Vậy tích các giá trị của \(m\) thỏa mãn là      \(S = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).\left( { - 2} \right) = 1\)

Đáp án  B