Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
.png)
A. \(V = \dfrac{{125\pi {a^3}}}{{27}}\)
B. \(V = \dfrac{{25\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
C. \(V = \dfrac{{25\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\)
D. \(V = \dfrac{{125\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
.png)
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\)
Suy ra \(A,\,\,G,\,\,M\) thẳng hàng và \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)
\(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\). Suy ra \(I\) nằm trên \(SG\)
Ta có:
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(2a\) nên \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \sqrt 3 a \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)
\(\left\{ \begin{array}{l}SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\)
Do đó, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc giữa \(SM\) và \(AM\) hay \(\widehat {SMA} = 45^\circ \). Suy ra,
\(SG = GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)
\(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) nên \(R = IS = IA = IB = IC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}SI = R \Rightarrow IG = SG - SI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R\\A{G^2} + I{G^2} = A{I^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R} \right)^2} = {R^2}\\ \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}a\end{array}\)
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{125\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}\)
Đáp án D
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) liên tục và có đồ thị trên \(\mathbb{R}\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
.png)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC = a\sqrt 2 \). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) lên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và \(SA = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)(tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối chóp đã cho.
.png)
Cho \(a,\,\,m\) là 2 số thực thỏa mãn \(0 < a \ne 1\) và \({\log _a}2 = m\). Giá trị của biểu thức \({a^m} + {a^{ - m}}\) bằng
Cho hai số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({\log _3}x + {\log _3}y = - 1\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (với \(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?
.png)
.png)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có cạnh ba cạnh \(AS,\,\,AB,\,\,AC\) đôi một vuông góc với nhau và \(AS = a,\,\,AB = 2a,\,\,AC = 3a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB\) và \(SC\) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AMN\)
.png)
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ có chiều cao \(h = 3\,\,cm\) và diện tích đáy \(B = 10\,\,c{m^2}\)
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = 2a,\,\,AC = a\sqrt 2 \) và \(AC' = a\sqrt 3 \) (tham khảo hình bên).
.png)
Hàm số \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\ln \left( {{x^2} - 3x} \right) = 0\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 1}}{{2x + 1}}\) (với \(m\) là tham số) thỏa mãn điều kiện \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 3\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
Chiều cao \(h\) của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và thể tích \(V\) được tính theo công thức nào dưới đây?
Một người dự định làm một cái thùng hình trụ bằng tôn có nắp đậy và có thể tích \(V\) cho trước. Hỏi người đó phải làm cái thùng có tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính đáy bằng bao nhiêu để tốn ít tôn nhất ?
