Có 5 vectơ mà điểm đầu là O, điểm cuối là đỉnh của ngũ giác: \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow O C,\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {OE} \)

Các vectơ này có độ dài bằng nhau (tính chất của các đa giác đều).

Các vectơ khác \(\overrightarrow {0} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh, giá là các cạnh của ngũ giác có độ dài bằng nhau, bằng cạnh của ngũ giác đều.

Vậy các phương án A, B, D đều đúng, phương án C sai.

Vì có 5 vectơ mà điểm đầu là A, điểm cuối là đỉnh của ngũ giác: \(\overrightarrow {AA} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} \).

Do tam giác ABC là tam giác đều nên đường cao AH là trường trung tuyến.

⇒ H là trung điểm BC ⇒ \(BH=HC=\frac{BC}{2}\)

Lại có AC = BC nên AC = 2HC (1)

Mà \(\left| \overrightarrow{AC} \right|=AC;\left| \overrightarrow{HC} \right|=HC\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {HC} } \right|\)

Vậy chọn đáp án B.

Dựng hình bình hành ABCD.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} =\overrightarrow {AD} \).

Vì AD chứa đường trung tuyến AE của tam giác ABC, do đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có giá chứa đường trung tuyến qua A.

Vậy chọn C.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AD} } \right| = 0\)

Vậy chọn đáp án B.

Vì B nằm giữa A và C nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng và AB < AC nên 0 < k < 1.

Vậy chọn đáp án C.

Gọi I là trung điểm AB.

Khi đó với mọi M ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

⇒ M là trung điểm của CI.

Vậy chọn đáp án D.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó ta có:

\(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MF} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {\overrightarrow {MF} } \right|\)

Do đó M thuộc đường trung trực của EF.

Vậy chọn đáp án C.

Ta có: \(\overrightarrow {MN} \left( { - 6; - 6} \right),\overrightarrow {MP} \left( {3;3} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {MP} \)

Nên M nằm giữa N và P

Vậy chọn đáp án A.

Ta có:

\(\left\{ \begin{gathered} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2 \hfill \\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3} = \frac{{1 + 2 + ( - 6)}}{3} = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Nên G là trọng tâm tam giác ABD.

Vậy chọn đáp án A.

Nếu ​\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} \) và ​\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {DC} \) thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

Do đó ABCD là hình bình hành.

Vậy chọn đáp án D.

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MA} \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AD} \) (vô lí)

⇒ Không có điểm M.

Vậy chọn đáp án A.

Áp dụng tính chất của đường phân giác ta có:

\(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow MA = \frac{{AC}}{{BC}}MB\)

⇒ \(\overrightarrow {MA} = - \frac{b}{a}\overrightarrow {MB} \)

Vậy chọn đáp án B.

Gọi M là trung điểm của BC.

Tam giác ABC có: O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC.

Nên OM là đường trung bình của tam giác.

Suy ra AB = 2OM

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right|=2|\overrightarrow {OM}|=2OM=AB=a \)

Vậy chọn đáp án A.

Ta có:

\(\left. \begin{gathered} k\overrightarrow a = (2k;k) \hfill \\ h\overrightarrow b = \left( {3h;4h} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow k\overrightarrow a + h\overrightarrow b = \left( {2k + 3h;k + 4h} \right)\)

Theo đề bài:

\(\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7 = 2k + 3h \hfill \\ 2 = k + 4h \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = 4,4 \hfill \\ h = - 0,6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Vậy chọn đáp án C.

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là các vectơ không cùng phương nên \(x\overrightarrow a + y\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)⇔ x = y = 0

Vì tung độ của điểm M là sin α, hoành độ của M là cos α nên M(cos α; sin α).

Hai góc 30^o và 150^o bù nhau nên sin30^o = sin 150^o

Hai góc 15^o và 165^o bù nhau nên cos 15^o = cos 165^o.

Do đó P = sin30°cos15° + sin150°cos165° = sin30°cos15° + sin30°(-cos15°) = 0.

Vậy chọn đáp án C.

Ta có: \({\sin ^2}\frac{\alpha }{3} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{3} = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{\alpha }{3} = 1 - {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = \frac{{16}}{{25}}\)

Do đó ta có:

\(P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{3}=3.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + 5.\frac{{16}}{{25}} = \frac{{107}}{{25}}\)

Vậy chọn đáp án B.

Vẽ \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {BA} \).

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên đồng thời AH là đường phân giác.

Suy ra \(\widehat {BAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = {30^o}\)

Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {HAE} = {180^o} - \widehat {BAH} = {180^o} - {30^o} = {150^o}\)

Vậy chọn đáp án D.

Ta có:

\(\begin{gathered} \overrightarrow {AB} = (1; - 3),\overrightarrow {AC} = (3;6) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.3 + ( - 3).6 = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \)

Vajayc họn đáp án B.

Ta có:

\(\begin{gathered} \overrightarrow {AB} = (3;12),\overrightarrow {AC} = (4; - 1) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.4 + 12.( - 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \)

⇒ Tam giác ABC vuông tại A.

Nên trực tâm của tam giác là đỉnh A.

Vậy chọ đáp án B.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)

Ta có:

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^o}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^o} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\)

Vậy chọn đáp án A.

Ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.6 - 3x = 6 - 3x\)

Hai vectơ này vuông góc với nhau khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 6 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy chọn đáp án B.

Ta có

\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a ,\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{4.1 + 3.7}}{{\sqrt {16 + 9} \sqrt {1 + 49} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\)

Vậy chọn đáp án D.

Ta có:

\(\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = (2; - 2) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = (2;2) \hfill \\ \overrightarrow {CA} = ( - 4;0) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AB = \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} = 2\sqrt 2 \hfill \\ BC = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \hfill \\ CA = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Chu vi của tam giác ABC là P = AB + BC + CA = \(4 + 4\sqrt 2 \)

Vậy chọn đáp án B.

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} = (2;2),\overrightarrow {BC} = (0; - 4),\overrightarrow {AC} = (2; - 2)\)

\(\begin{gathered} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AB = AC = 2\sqrt 2 \hfill \\ A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \)

Do đó tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Vậy chọn đáp án D.

Ta có:

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{6^2} + {7^2} - {{10}^2}}}{{2.6.7}} < 0 \Rightarrow C > {90^o}\)

Suy ta tam giác ABC là tam giác tù.

Vậy chọn đán án B.

Ta có:

\(\begin{gathered} {m_c}^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - {m_c}^2 = \frac{{{4^2} + {6^2}}}{2} - {4^2} = 10 \hfill \\ \Rightarrow {c^2} = 40 \Rightarrow c = 2\sqrt {10} \hfill \\ \end{gathered} \)

Vậy chọn đáp án A.

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A\)

Tương tự ta có b = 2RsinB, c = 2RsinC.

Ta có a+ b = 2c.

⇒ 2RsinA + 2RsinB = 2RsinC.

⇒ sin A + sin B = 2 sin C

Vậy chọn đáp án C.

Ta có:

\(\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;b} \right);\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;6} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BH} = \left( {a - 3;b} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;6} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

H là trực tâm tam giác ABC nên:

\(\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} (a + 3).( - 1) + b.6 = 0 \hfill \\ (a - 3).5 + b.6 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Suy ra a + 6b = 7

Vậy chọn đáp án C.