\(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi  {f({x^2})d{x^2}}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f(t)dt = \frac{1}{2}} \int\limits_0^{{\pi ^2}} {f(x)dx = 1009} \)

Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ

Khối cầu S(O;R) chứa một đường tròn lớn là \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = {R^2}\)

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là

\(V = 2\pi \int\limits_{\frac{R}{2}}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} dx = 2\pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{2}} \right)_{\frac{R}{2}}^R = \frac{{5\pi {R^3}}}{{12}}\)

\(I\left( { - 2;3;0} \right),R = \sqrt 5 \)

\(z = \frac{7}{5} + \frac{{11}}{5}i \Rightarrow A = z.\overline z  = \frac{{34}}{5} = \frac{{170}}{{25}}\)

\({z^2} - 6z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = 3 + i\\ {z_2} = 3 - i \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {2i} \right| = 2\)

\(z + 2\overline z = 3 - i \Leftrightarrow 3a - bi = 3 - i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a - b = 0\)

Bán kính của mặt cầu là: \(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{10}}{{\sqrt 2 }}\)

Phương trình của mặt cầu là: \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 50\)

\(\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{3}{{x + 1}}} \right)dx}  = \left. {\left( {2x - 3\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3 = 4 - 3\ln 2\)

\( \Rightarrow a = 4,b =  - 3 \Rightarrow a.b =  - 12\)

\(I = \int\limits_0^3 {f'(x)dx}  = f(3) - f(0) = 3\)

\((x + y) + (3x + y)i = (3 - x) + (2y + 1)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 - x\\ 3x + y = 2y + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{5}\\ y = \frac{7}{5} \end{array} \right.\)

VTCP là \(\overrightarrow a  = \left( {1;0; - 3} \right)\)

Xét phương trình: \({x^2} - 2x = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng là:

\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx}  = \left| {\int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| = \frac{9}{2}\)

Trung điểm I của AB là có tọa độ là:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{2 - 4}}{2} = - 1\\ {y_I} = \frac{{ - 1 + 3}}{2} = 1\\ {z_I} = \frac{{0 - 6}}{2} = - 3 \end{array} \right.\)

Bán kính mặt cầu là: \(AB = \sqrt {17} \)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17\)

\(I = \int {\frac{{{e^{\ln x}}}}{x}dx}  = \int {d\left( {{e^{\ln x}}} \right)}  = {e^{\ln x}} + C\)

Ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {2 + x} \right)\\ dv = xdx \end{array} \right.\)

\(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + } } \int\limits_b^c {f(x)dx} .\) ⇒ Sai

\(\overrightarrow {MN}  = ( - 3; - 2;2),\overrightarrow {NP}  = (2;m - 2;2)\)

Để MNP vuông tại N thì \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP}  = 0 \Leftrightarrow  - 6 - 2m + 4 + 4 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)

z = 3 - 4i

Phần thực: 3, phần ảo: -4

\({z_1}-{z_2} =  - 3 + 6i\)

VTPT là \(\overrightarrow n  = (1; - 1;3)\)

\(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}}  + \frac{1}{2}sin2x + C.\)

\({z_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\)

Đường thẳng d vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) nên nhận VTPT của \(\left( \alpha  \right)\) làm VTCP

⇒ phương trình chính tắc của d là: \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{2}\)

\(z = {\left( {2 + 2i} \right)^2} = 8i\)

(Q) vuông góc với d nên nhận VTCP của d làm VTPT

Phương trình của (Q): 2x - y - 2z + 9 = 0

Gọi d’ là đường thẳng cần tìm

Ta có: \(d\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3t\\ z = - 2 + 2t \end{array} \right.\)

Gọi B là giao điểm của d’ và d thì B(2 + t;3t;2t - 2)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = (1 + t;3t - 2;2t - 2)\)

Đường thẳng d’ song song với (P) nên \(\overrightarrow A .\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = 0 \Leftrightarrow 2(1 + t) + 3t - 2 - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{2}{3}; - 3; - \frac{5}{3}} \right)\)

1 VTCP của d’ là: \(3\overrightarrow {AB}  = (2; - 9; - 5)\)

Vậy phương trình d’: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 9}} = \frac{{z + 1}}{{ - 5}}\)

(P) song song với d và d’ nên có VTPT là: \(\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = (1;3;5)\)

Phương trình của (P) là: x + 3y + 5z - 13 = 0

\(F(x) = \int {f(x)dx}  =  - \frac{1}{2}\int {\frac{{d(8 - {x^2})}}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}}  =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + C\)

\(\begin{array}{l} F(2) = 0 \Rightarrow C = 2\\ \Rightarrow F(x) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 \end{array}\)

Khi đó: \(F(x) = x \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 2\\ 2{x^2} - 4x - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \)

Xét: \(\sqrt {\ln x}  = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Thể tích khối tròn xoay là:

\(V = \pi \int\limits_1^2 {\ln xdx}  = \left. {\pi x\ln x} \right|_1^2 - \pi \int\limits_1^2 {dx}  = \pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\)

Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) có một nghiệm là \({z_1} = 1 + i\)

⇒ nghiệm còn lại là: \({z_2} = 1 - i\)

Theo Vi-et:

\(\begin{array}{l} - a = {z_1} + {z_2} = 2 \Rightarrow a = - 2\\ b = {z_1}{z_2} = 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{w}} =  - 2 + 2i \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt 2 \)

Giả sử w = a + bi

\({\rm{w}} = \left( {3 + 4i} \right)z + i \Leftrightarrow {\rm{w}} - i = \left( {3 + 4i} \right)z \Leftrightarrow \left| {{\rm{w}} - i} \right| = \left| {3 + 4i} \right|.\left| z \right| \Leftrightarrow \left| {{\rm{w}} - i} \right| = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{(b - 1)}^2}}  = 20\)

Vậy bán kính của đường tròn là r = 20

A(1; -2; 3) thuộc d₁

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm

VTPT của (P): \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = (5; - 4;1)\)

Phương trình của (P) là: 5x - 4y + z - 16 = 0

\(\overrightarrow {AB}  = (1;3; - 5)\)

VTPT của \(\left( \alpha  \right)\) : \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}} } \right] = (11; - 7; - 2)\)

⇒ phương trình \(\left( \alpha  \right)\) : 11x - 7y - 2z - 21 = 0

O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Các đường xung quanh thùng rượu là các đường parabol.

Gọi đường parabol đó có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\)

Theo bài ra ta có đường parabol này sẽ đi qua các điểm (0;0,3),(0,5;04),(1;0,3)

Suy ra: \(y =  - \frac{2}{5}{x^2} + \frac{2}{5}x + \frac{3}{{10}}\)

Thể tích thùng rượu chính là thể tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y =  - \frac{2}{5}{x^2} + \frac{2}{5}x + \frac{3}{{10}}\); y = 0; x = 1

\( \Rightarrow V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( { - \frac{2}{5}{x^2} + \frac{2}{5}x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}dx}  = \frac{{203\pi }}{{1500}}({m^3}) \approx 425,16(l)\)

\(\frac{{1 - i}}{z} = 1 + i \Leftrightarrow z =  - i \Rightarrow {\rm{w}} = 2z + 1 = 1 - 2i\)

Để d(B,(P)) lớn nhất thì \(BA \bot (P)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = (2;3; - 1)\) là VTPT của (P)

Phương trình (P) là: 2x + 3y - z + 2 = 0

Vậy \(d\left( {O,(P)} \right) = \frac{2}{{\sqrt {14} }}\)

Có: y' = 2x - 2

⇒ 2 phương trình tiếp tuyến tại A và B lần lượt là:

y =  - 2x + 3,y = 4x - 6

2 tiếp tuyến này cắt nhau tại C\(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\)

Phương trình của AB: \(x - y + 3 = 0 \Leftrightarrow y = x + 3\)

Diện tích cần tìm S bằng diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích S’ hình phẳng giới hạn bởi (P) và AB

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{27}}{4}\)

\(S' = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx}  = \frac{9}{2}\)

Vậy \(S = \frac{{27}}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4}\)

\(\Delta \) vuông góc với d và nằm trong (P) nên có VTCP là : \(\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = (5; - 1; - 3)\)

Gọi \(H = d \cap \Delta \) thì H( - 1 + 2t;t; - 2 + 3t), (lấy tọa độ theo d )

Mà \(H \in (P) \Rightarrow  - 1 + 2t + 2t - 2 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H(1;1;1)\)

Vậy phương trình \(\Delta \) : \(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\)