Đths có TCĐ: x =  - 1 nên loại A, C.

Đths đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) nên chỉ có D thỏa mãn.

\(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\)

\(TXD:D = R\)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 6x\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Từ BBT  ta có đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) cắt đường thẳng y = m  tại 3 điểm phân biệt

\(\Rightarrow - 3 < m < 1\)

Xét phương trình hoành độ

\(\begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}},x \ne - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x - 1 và \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là \(\left( {0, - 1} \right),\left( {2,1} \right)\)

TXD:D = R

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x - 5\\y' = {x^2} - 4x + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Từ  BBT x_ct=3, y_ct=-5

\(y'\left( 3 \right) = 0\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(\left( {3; - 5} \right)\) là:

\(y = 0\left( {x + 3} \right) - 5\) hay \(y = - 5\)

Đường thẳng này song song với trục hoành.

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - 4x}}{{2x - 1}}(x \ne \dfrac{1}{2})\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{1 - 4x}}{{2x - 1}} = - 2\end{array}\)

Suy ra TCN y=-2

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên a < 0, loại B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) nên chỉ có C thỏa mãn.

Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) và \(( - \infty ;-1)\)

\(y = {x^3} - 3x + 2\)

TXD:D = R

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 3\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Từ BBT suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) cắt đường thẳng y = m - 1 tại 3 điểm phân biệt

\(\Rightarrow 0 < m - 1 < 4 \Leftrightarrow 1 < m < 5\)

Đáp án A: tâm đối xứng là giao hai đường tiệm cận x =  - 2 và y = 1 nên có tọa độ \(\left( { - 2;1} \right)\) ( loại).

Đáp án B:

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^2} - 12x + 1\\y'' = 12x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1\\ \Rightarrow y = {2.1^3} - {6.1^2} + 1 + 1 = - 2\end{array}\)

\(\Rightarrow I\left( {1; - 2} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị.

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0 nên A sai

Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định với mọi \(x \in R\) khi và chỉ khi \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2m - 1 > 0 \forall x \in \mathbb{R}\)

+ Với m = 0 ta có: 4x - 1 > 0 (không thỏa mãn)

+ Với \(m \ne 0\), ta có: \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2m - 1 > 0 \forall x \in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' = - {m^2} - 3m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\)

Điều kiện: \({x^3} - 3x > 0\)

Ta có: \({\log _3}({x^3} - 3x) = \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 3x} \right) = {3^{\dfrac{1}{2}}}\)

Dùng máy tính giải phương trình, so sánh điều kiện phương trình có 1 nghiệm.

Ta có:

\({4^{\dfrac{1}{2}{{\log }_2}3 + 3{{\log }_8}5}} = {4^{{{\log }_2}\sqrt 3 + {{\log }_2}5}} \)\(\,= {4^{{{\log }_2}5\sqrt 3 }} = {2^{2{{\log }_2}\sqrt {75} }}= {2^{{{\log }_2}75}} = 75.\)

Ta có: \(y = {2^{2x + 3}}\)

\(\Rightarrow y' = {\left( {{2^{2x + 3}}} \right)^\prime }\)\(\, = {2^{2x + 3}}.\ln 2.2\)

Ta có:

\({\log _7}x = 8{\log _7}a{b^2} - 2{\log _7}{a^3}b\,\)\(\, = {\log _7}{a^8}{b^{16}} - {\log _7}{a^6}{b^2}\)\(\, = {\log _7}\left( {\dfrac{{{a^8}{b^{16}}}}{{{a^6}{b^2}}}} \right) = \log \left( {{a^2}{b^{14}}} \right)\)

Ta có:

\(K = {\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \dfrac{4}{3}}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)}^3}}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{1}{8}} \right)}^4}}}}} \)\(\,= 8 + 16 = 24.\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1 \)

\(\Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} = 2 \)

\(\Leftrightarrow {a^\alpha } + \dfrac{1}{{{a^\alpha }}} = 2\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{a^\alpha }} \right)^2} - 2{a^\alpha } + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow {a^\alpha } = 1 \Leftrightarrow \alpha = 0\)

Ta có: \({4^x} - {8.2^x} + 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 8.\left( {{2^x}} \right) + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 4 + 2\sqrt 3 \\{2^x} = 4 - 2\sqrt 3 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _2}\left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)\\x = {\log _2}\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right)\end{array} \right.\)

Khi đó

\(P = {x_1} + {x_2} \)\(\,= {\log _2}\left( {4 + 2\sqrt 3 } \right) + {\log _2}\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) \)\(\,= {\log _2}\left( {16 - 12} \right) = 2\)

Điều kiện xác định: \(x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4\)

Ta có:
\({3^x} + {3^{x + 1}} = 8 \)

\(\Leftrightarrow {3^x} + {3.3^x} = 8\)

\(\Leftrightarrow {4.3^x} = 8\)

\(\Leftrightarrow {3^x} = 2\)

\(\Leftrightarrow x = {\log _3}2\)

Khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h có công thức là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh\)

Khối chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có n + 1 đỉnh (gồm đỉnh S và n đỉnh của đa giác đáy),

n + 1 mặt (1 mặt đáy và n mặt bên) và 2n cạnh (n cạnh bên và n cạnh đáy)

Do đó chỉ có ý A đúng.

Nếu A', B', C' là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:

\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

Ta có: \({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)

\({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)

Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt (ví dụ các đỉnh của hình tứ diện)

Không tồn tại 1 đỉnh nào đó của đa diện nào đó là đỉnh chung của ít hơn 3 mặt

Tập hợp các đường thẳng đó là mặt nón có góc ở đỉnh bằng \(60^0\)

Bán kính của hình nón là: \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) ; đường sinh \(l = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Diện tích xung quanh của hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi rl = \pi \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{4}\)

Bán kính đáy của hình nón là: \(R = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Chiều cao của hình nón là: \(h = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Diện tích xung quanh của hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.a = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

Gọi I là trung điểm của AB, H là chân đường vuông góc của O lên mp (SAB)

\(\begin{array}{l}SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{8^2} - {5^2}} = \sqrt {39} \\OI = \sqrt {O{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\\\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{39}} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{{16}}{{117}}\\ \Rightarrow OH = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{4}\end{array}\)

Gọi d là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB.

Suy ra \({S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}d.AB\)

Vì \({S_{MAB}};AB\)  là hằng số nên d không đổi.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là một mặt trụ tròn xoay.