Ta sắp xếp các cạnh giá trị \({u_1}; \ldots {u_n}\) tăng dần theo cấp số cộng là 3. Khi đó ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_n} = 158}\\ {{u_n} = 44} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{u_1} + 44} \right).\frac{n}{2} = 158}\\ {{u_1} + 3\left( {n - 1} \right) = 44} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 47 - 3n}\\ {\left( {47 - 3n + 44} \right).n = 316\;\;\;\;\left( * \right)} \end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow 3{n^2} - 91n + 316 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 4\left( {TM} \right)}\\ {n = \frac{{79}}{3}\left( L \right)} \end{array}} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = \frac{1}{4}\\ {u_5} = {u_1}.{q^4} = 16 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q = 4\\ u = \frac{1}{{16}} \end{array} \right.\)

Gọi số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân là \({u_1},q\,\left( {{u_1},q > 0} \right).\)

Ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = 6\\ {u_4} = {u_1}.{q^3} = 24 \end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q = 2\\ {u_1} = 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {S_{12}} = 3\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = {3.2^{12}} - 3.\)

\({u_{n + 1}} = {3.3^n}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} 2 + 6 = 2a\\ a + b = 12 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 8 \end{array} \right. \Rightarrow a.b = 32\)

Chọn A. Định nghĩa dãy số: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp số nguyên dương ⇒ A đúng.

Chọn B. Dãy số \({u_n} = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) có \({u_1} = 1;{u_2} = - \frac{1}{2};{u_3} = \frac{1}{4};{u_4} = - \frac{1}{8}...\) nên dãy này không tăng cũng không giảm ⇒ B đúng.

Chọn C. Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi u₁ vì \({u_1} < {u_2} < {u_3} < ... \Rightarrow C\) đúng.

+) Giả sử dãy u_n  là \({u_1};{u_2};...;{u_n}\) CSC có công sai \(d \ne 0 \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

\(\Rightarrow 4{u_n} = 4{u_1} + \left( {n - 1} \right)4d\)

Dãy P_n có dạng \(4{u_1};4{u_2};...;4{u_n}\) là CSC có công sai \(4d \ne 0 \Rightarrow A\) đúng

+) Giả sử dãy u_n là CSN có công bội \(k \ne 0 \Rightarrow {u_n} = {k^{n - 1}}{u_1}\)

\(\Rightarrow u_n^2 = {k^{2n - 2}}u_1^2 = {\left( {{k^2}} \right)^{n - 1}}u_1^2\)

Dãy S_n có dạng \(u_1^2;u_2^2;...;u_n^2\) cũng là CSN có công bội \({k^2} \ne 0 \Rightarrow D\) đúng.

\({u_n} = {k^{n - 1}}{u_1} \Rightarrow 4{u_n} = 4{k^{n - 1}}{u_1} = {k^{n - 1}}.4{u_1} \Rightarrow \) Dãy P_n có dạng \(4{u_1};4{u_2};...;4{u_n}\) là CSN với công bội k. Suy ra B đúng.

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_4} - {u_2} = 54\\ {u_5} - {u_3} = 108 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_4} - {u_2} = 54\\ {u_4}q - {u_2}q = 108 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_4} - {u_2} = 54\\ q({u_4} - {u_2}) = 108 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_4} - {u_2} = 54\\ 54q = 108 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^3} - {u_1}q = 54\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}({q^3} - q) = 54\\ q = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 9\\ q = 2 \end{array} \right. \end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_9} = 5{u_2}\\ {u_{13}} = 2{u_6} + 5 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} \right)\\ {u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} \right) + 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{u_1} - 3d = 0\\ {u_1} - 2d = - 5 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ d = 4 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} S{}_1 = u{}_1 = 3\\ S{}_2 = 2u{}_1 + d = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u{}_1 = 3\\ d = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow M = 1\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ {u_4} = 54 \end{array} \right.\)

\({u_4} = {u_1}.{q^3}\) \(\Rightarrow 54 = 2.{q^3} \Leftrightarrow {q^3} = 27 \Leftrightarrow q = 3\)

⇒ \({u_6} = {2.3^5} = 486\)

Gọi số cạnh đa giác là n ta có

\(44n - 3\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) = 158 \Leftrightarrow 44n - 3\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 158\)

\(\Leftrightarrow 3{n^2} - 91n + 316 = 0 \Rightarrow n = 4\)

3 số lập thành cấp số nhân \( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 50} \right) = {\left( {x + 14} \right)^2} \Leftrightarrow 24x = 96 \Leftrightarrow x = 4\).

Khi đó \( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 50} \right) = {\left( {x + 14} \right)^2} \Leftrightarrow 24x = 96 \Leftrightarrow x = 4\).

(u_n) là cấp số cộng nên: \({u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow 26 = \frac{1}{3} + 7d \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}\)

\({u_{10}} = {u_1} + 9d = - 2 + 9.3 = 25\)

\({u_3} = \frac{{{u_2} + {u_4}}}{2} = 3 \Rightarrow d = - 1 \Rightarrow {u_1} = {u_2} - d = 5\)

Xét 5 số hạng \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5}\) của cấp số nhân và công bội q

Theo bài ra, ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^5 {{u_k} = 31} \\ \prod\limits_{k = 1}^5 {{u_k}} = 1024 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 31\\ u_1^5.{q^{10}} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{4}{{{q^2}}}.\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 31\left( * \right)\)

Phương trình:(*) có 4 nghiệm q phân biệt. Vậy có 4 cấp số nhân cần tìm

Ta có \(S = u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {{u_1} - 3} \right)^2} + {\left( {{u_1} - 6} \right)^2} + {\left( {{u_1} - 9} \right)^2} = 3u_1^2 - 36{u_1} + 126\).

Do đó S đạt GTNN khi u₁ = 6.

Vậy \({S_{100}} = 100.6 + \frac{{100.99}}{2}.\left( { - 3} \right) = - 14250\).

\({u_3} = {u_1}.{q^2} = 2{\left( 3 \right)^2} = 18\)

\({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\\ \Leftrightarrow 765 = 3\frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}}\\ \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 255 \\\Leftrightarrow {2^n} = 256 \\\Rightarrow n = 8.\)

Tổng n số hạng đầu là \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = 5{n^2} + 3n,\,\,\left( {n \in N*} \right)\)

Tổng số hạng đầu tiên là \({S_1} = {u_1} = {5.1^2} + 3.1 = 8\)

Tổng 2 số hạng đầu là

\({S_2} = {u_1} + {u_2} = {5.2^2} + 3.2 = 26 = 8 + {u_2} \Rightarrow {u_2} = 18 = 8 + 10 = {u_1} + d \Rightarrow d = 10\)

Tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AM nên tam giác AMB vuông tại M, với M là trung điểm BC.

Đặt \(BC = a \Rightarrow AM = aq,\,\,\,AB = a{q^2}\)

Theo định lý Pitago ta có: \(A{B^2} = B{M^2} + A{M^2} = \frac{{B{C^2}}}{4} + A{M^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{q^4} = \frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}{q^4} \Leftrightarrow {q^4} - {q^2} - \frac{1}{4} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {q^2} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\\ {q^2} = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} < 0\left( L \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow {q^2} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} q = \frac{{\sqrt {2 + 2\sqrt 2 } }}{2}\\ q = \frac{{ - \sqrt {2 + 2\sqrt 2 } }}{2} \end{array} \right.\)

\({n^2} + 4n = {S_n} = \frac{d}{2}{n^2} + \left( {{u_1} - \frac{d}{2}} \right)n \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{d}{2} = 1\\ {u_1} - \frac{d}{2} = 4 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ d = 2 \end{array} \right. \\\Rightarrow {u_n} = 2n + 3.\)

Giả sử 4 góc A< B, C, D:(với A < B < C < D) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa mãn yêu cầu với công bội q.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} A + B + C + D = 360\\ D = 27A \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A\left( {1 + q + {q^2} + {q^3}} \right) = 360\\ A{q^3} = 27A \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} q = 3\\ A = 9\\ D = A{q^3} = 243 \end{array} \right. \\\Rightarrow A + D = 252.\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_{m + n}} = A = {u_1}.{q^{m + n - 1}}\\ {u_{m - n}} = B = {u_1}.{q^{m - n - 1}} \end{array} \right. \Rightarrow A = B{q^{2n}} \Rightarrow q = \sqrt[{2n}]{{\frac{A}{B}}}\)

Mặt khác

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_m} = {u_1}.{q^{m - 1}}\\ {u_{m + n}} = {u_1}.{q^{m + n - 1}} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{u_m}}}{A} = {q^{ - n}} \Leftrightarrow {u_m} = A\sqrt[{2n}]{{{{\left( {\frac{A}{B}} \right)}^{ - n}}}} = \sqrt {AB} \)

Tương tự ta có thể tính được \({u_n} = A{\left( {\frac{B}{A}} \right)^{\frac{m}{{2n}}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} a + c = 2b \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} = 4\sin \frac{B}{2}.c{\rm{os}}\frac{B}{2} = 4\sin \frac{{A + C}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A + C}}{2}\\ \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} = 2c{\rm{os}}\frac{{A + C}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} + \sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} = 2c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} - 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} = c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \Leftrightarrow 3\tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3} \end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l} a + b + c = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow a + b = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cot \left( {a + b} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - c} \right) = \tan c \Rightarrow \frac{{\cot {\rm{a}}.\cot b - 1}}{{\cot {\rm{a}} + \cot b}} = \frac{1}{{\cot c}}\\ a + b + c = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow a + b = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cot \left( {a + b} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - c} \right) = \tan c \Rightarrow \frac{{\cot {\rm{a}}.\cot b - 1}}{{\cot {\rm{a}} + \cot b}} = \frac{1}{{\cot c}}\\ \Leftrightarrow \cot {\rm{a}}.\cot b.\cot c = \cot {\rm{a}} + \cot b + \cot c \end{array}\)

Mà \(\cot {\rm{a}} + \cot c = 2\cot b\)

Do đó ta được \(\cot {\rm{a}}.\cot b.\cot c = 3\cot b \Rightarrow \cot {\rm{a}}.\cot c = 3\)

Số đó là 421, đây là số nguyên tố:(chỉ chia hết cho 1 và chính nó)

Ta thấy 4, 2, 1 theo thứ tự lần lượt lập thành cấp số nhân có công bội q = 0,5

 Giá trị a² +b² +c² là 21

Ta có B = 2A, C = 2B = 4A mà \(A + B + C = \pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{\pi }{7}\\ B = \frac{{2\pi }}{7}\\ C = \frac{{4\pi }}{7} \end{array} \right..\)

Thế vào \(\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{2R\sin \frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{1}{{2R\sin \frac{{4\pi }}{7}}} = \frac{1}{{2R}}.\frac{{\sin \frac{{4\pi }}{7} + \sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{4\pi }}{7}.\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \frac{1}{{2R}}.\sin \frac{\pi }{7} = \frac{1}{a}.\)

Ta có:

\(a + c = 2b \\\Leftrightarrow a = 2b - c \\\Leftrightarrow {a^2} = {\left( {2b - c} \right)^2} \\\Leftrightarrow {a^2} + 8bc = 4{b^2} + 4bc + {c^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 8bc = {\left( {2b + c} \right)^2}\)

Do đó \(P = \frac{{2b + c + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2b + c} \right)}^2} + 1} }} = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} \le \sqrt {10} \) với t = 2b + c, dấu bằng xảy ra khi \(2b + c = \frac{1}{3}.\)

Vậy x + y = 11.