Ta có : \(\left( {2x + 5y} \right) + \left( {4x + 3y} \right)i = 5 + 2i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 5\\4x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{5}{{14}}\\y = \dfrac{8}{7}\end{array} \right.\).

Chọn C

Dễ  thấy A, B, D đúng.

C sai: \(\int\limits_a^b {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx}  \ne \dfrac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }}\)

Chọn C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Chọn B

Ta có \(\cos \varphi  = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{3.1 + \left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \varphi  = 90^\circ \)

Chọn C

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^4} - 8x\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 4{x^3} - 8\\v = F\left( x \right)\end{array} \right.\).

Khi đó \(12 = \int\limits_1^3 {\left( {{x^4} - 8x} \right)f\left( x \right)dx} \)\( = \left. {\left[ {\left( {{x^4} - 8x} \right).F\left( x \right)} \right]} \right|_1^3 - \int\limits_1^3 {\left( {4{x^3} - 8} \right)F\left( x \right)dx} \)

\(\begin{array}{l} = 57.F\left( 3 \right) - \left( { - 7} \right).F\left( 1 \right) - 4\int\limits_1^3 {\left( {{x^3} - 2} \right)F\left( x \right)dx}  = 57.5 + 7.3 - 4I = 306 - 4I\\ \Rightarrow 12 = 306 - 4I \Leftrightarrow I = \dfrac{{147}}{2}\end{array}\)

Chọn A

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 5}}{3}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 1;3} \right).\)

Chọn A

Ta có : \(K = \int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  - 3\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx}  = 2.9 - 3.\left( { - 5} \right) = 33\).

Vậy \(K = 33\).

Chọn B

Đặt \(\sin 2x = t \Rightarrow 2\cos 2xdx = dt \Leftrightarrow dx = \dfrac{1}{{2\cos 2x}}dt\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\int {f\left( {\sin 2x} \right)\cos 2xdx}  = \int {f\left( t \right).\cos 2x.\dfrac{1}{{2\cos 2x}}dt}  = \dfrac{1}{2}\int {f\left( t \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{3}{2}t + C = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x + \dfrac{3}{2}\sin 2x + C\end{array}\)                                     

Chọn C

Điểm \(M\left( {3; - 2} \right)\) biểu diễn số phức \(z = 3 - 2i\).

Chọn D

Ta có

\(\left( {2 - 5i} \right)z - 3 + 2i = 5 + 7i \Leftrightarrow \left( {2 - 5i} \right)z = 8 + 5i \Leftrightarrow z = \dfrac{{8 + 5i}}{{2 - 5i}} = \dfrac{{\left( {8 + 5i} \right)\left( {2 + 5i} \right)}}{{\left( {2 - 5i} \right)\left( {2 + 5i} \right)}} =  - \dfrac{9}{{29}} + \dfrac{{50}}{{29}}i\)

Suy ra \(\overline z  =  - \dfrac{9}{{29}} - \dfrac{{50}}{{29}}i.\)

Chọn B

Phương trình \({z^2} + 2z + 3 = 0\) có hai nghiệm \({z_{1,2}} =  - 1 \pm \sqrt 2 i\)\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {1 + 2}  = \sqrt 3 \)

Vậy \(P = 2\left| {{z_1}} \right| + 5\left| {{z_2}} \right| = 2.\sqrt 3  + 5.\sqrt 3  = 7\sqrt 3 \).

Chọn D

Ta có \({z_1} + {z_2} = 3 - 4i + \left( { - 2} \right) + i = 1 - 3i\) nên \(\overline {{z_1} + {z_2}}  = 1 + 3i.\)

Chọn A

Ta có : \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{2x + 3}}dx}  = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\).

Do \(F\left( 0 \right) = 0\) nên \(\dfrac{1}{2}\ln 3 + C = 0 \Leftrightarrow C =  - \dfrac{1}{2}\ln 3\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| - \dfrac{1}{2}\ln 3\)

\( \Rightarrow F\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}\ln 7 - \dfrac{1}{2}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{7}{3}\).

Chọn C

Hình chiếu của điểm \(A\left( {3;5;2} \right)\) lên các mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right);\,\,\left( {Oyz} \right);\,\,\left( {Oxz} \right)\) lần lượt là \(M\left( {3;5;0} \right);N\left( {0;5;2} \right);P\left( {3;0;2} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;0;2} \right);\,\,\,\overrightarrow {MP}  = \left( {0; - 5;2} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {10;6;15} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là: \(10\left( {x - 3} \right) + 6\left( {y - 5} \right) + 15z = 0 \Leftrightarrow 10x + 6y + 15z - 60 = 0\)

Chọn B

Do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Chọn B

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)(vì \(f\left( x \right) > g\left( x \right)\) với \(x \in \left( { - 3;0} \right)\))

Chọn A

Số phức \(z = \sqrt 5  - 2i\) có phần thực \(a = \sqrt 5 \) và phần ảo \(b =  - 2\).

Chọn C

Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình D giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;x = b\) xung quanh trục \(Ox\) được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\)

Chọn B

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx}  =  - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).

Do \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\) nên \( - \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{2} + C =  - 1 \Leftrightarrow C =  - 1\)\( \Rightarrow F\left( x \right) =  - \dfrac{1}{2}\cos 2x - 1\).

Vậy \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) =  - \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{3} - 1 =  - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} - 1 =  - \dfrac{5}{4}\).

Chọn D

Gọi số phức \(z = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) suy ra  \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt 7  \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 7\)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 7 \).

Chọn D

Gọi \(A\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right),B\left( {0;0;c} \right) \in Oz\).

Do \(G\left( {2;5;8} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \dfrac{{a + 0 + 1}}{3}\\5 = \dfrac{{b + 0 + 1}}{3}\\8 = \dfrac{{0 + c + 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 14\\c = 23\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {5;14;0} \right),B\left( {0;0;23} \right)\).

Chọn D

Ta có \({z_1}.{z_2} = \left( {1 - 2i} \right)\left( {3 + 4i} \right) = 3 + 4i - 6i - 8{i^2} = 11 - 2i\)

Điểm biểu diễn \({z_1}.{z_2}\) là \(M\left( {11; - 2} \right)\).

Chọn C

Do \(\overrightarrow a  = 3\overrightarrow i  - 5\overrightarrow k  = 3\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  - 5\overrightarrow k \) nên \(\overrightarrow a  = \left( {3;0; - 5} \right)\).

Chọn D

Ta có \(\int {{3^{2018x}}dx}  = \dfrac{{{3^{2018x}}}}{{2018\ln 3}} + C.\)

Chọn C

Đặt \(t = \left| z \right| \ge 0\) ta có : \(\left( {1 + i} \right)zt - 1 = \left( {i - 2} \right)t\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + i} \right)zt = 1 + \left( {i - 2} \right)t \Rightarrow \left| {1 + i} \right|.\left| z \right|.t = \left| {1 - 2t + ti} \right|\\ \Rightarrow \sqrt 2 {t^2} = \sqrt {{{\left( {1 - 2t} \right)}^2} + {t^2}}  \Leftrightarrow 2{t^4} = 1 - 4t + 4{t^2} + {t^2}\\ \Leftrightarrow 2{t^4} - 5{t^2} + 4t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {2{t^3} + 2{t^2} - 3t + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^3} + 2{t^2} - 3t + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = 2{t^3} + 2{t^2} - 3t + 1\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có:

\(f'\left( t \right) = 6{t^2} + 4t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {22} }}{6} = {t_1} > 0\\t = \dfrac{{ - 2 - \sqrt {22} }}{6} < 0\left( L \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f\left( t \right) > 0,\forall t \ge 0\) nên phương trình \(f\left( t \right) = 0\) vô nghiệm.

Vậy \(t = 1\) hay \(\left| z \right| = 1\).

Chọn A

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}dx = du\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(\int {f'\left( x \right)\ln xdx}  = \ln x.f\left( x \right) - \int {\dfrac{1}{x}f\left( x \right)dx}  = \ln x.f\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}} + C\)

(vì theo giả thiết \(\int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx}  =  - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C\))

Lại có \({\left( {F\left( x \right)} \right)^\prime } = \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = {\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \dfrac{2}{{{x^3}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^2}}}\)

Suy ra \(\int {f'\left( x \right)\ln xdx}  = \ln x.f\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}} + C = \dfrac{{2\ln x}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + C.\)

Chọn B

Ta có: \(S = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left| {\cos x + 2} \right|dx}  = \)\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\cos x + 2} \right)dx}  = \left. {\left( {\sin x + 2x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{\pi }{2}\).

Chọn C

Ta có \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{1 - i}} = \dfrac{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2}i\)

Điểm biểu diễn số phức \(z\) là \(P\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\) .

Chọn C

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 4} \)\( \Rightarrow {x^2} + 4 = {t^2} \Rightarrow xdx = tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 4} .xdx}  = \int\limits_2^{\sqrt 5 } {{t^2}dt}  = \left. {\dfrac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^{\sqrt 5 } = \dfrac{1}{3}\left( {\sqrt {{5^3}}  - 8} \right)\)

Do đó \(a = 3,b = 5,c = 8 \Rightarrow abc = 120\).

Chọn A

Dễ thấy A, C, D đúng.

\(\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}  \ne \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \) nên B sai.

Chọn B

Căn bậc hai của số \( - 5\) là \( \pm i\sqrt 5 \).

Chọn A

Thể tích cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {x + 2} \right)}^2}dx}  = \pi \left. {\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{3}} \right|_1^3 = \dfrac{{98\pi }}{3}.\)

Chọn C

Phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) có hai nghiệm \({z_{1,2}} = 1 \pm 2i\).

Do \({z_2}\) có phần ảo âm nên \({z_1} = 1 + 2i,{z_2} = 1 - 2i\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}w = {\left[ {\left( {{z_1} - i} \right)\left( {{z_2} + 2i} \right)} \right]^{2018}} = {\left[ {\left( {1 + 2i - i} \right)\left( {1 - 2i + 2i} \right)} \right]^{2018}}\\ = {\left( {1 + i} \right)^{2018}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1009}} = {\left( {2i} \right)^{1009}} = {2^{1009}}.{i^{1009}} = {2^{1009}}.{\left( {{i^4}} \right)^{252}}.i = {2^{1009}}i\end{array}\)

Vậy phần ảo của \(w\) là \(b = {2^{1009}}\).

Chọn A

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 2;5} \right)\) là

\(2\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 3} \right) + 5\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y + 5z + 7 = 0\).

Chọn B

Ta có : \(\int {\left( {3{x^3} + 5{x^4}} \right)dx}  = 3.\dfrac{{{x^4}}}{4} + 5.\dfrac{{{x^5}}}{5} + C = \dfrac{3}{4}{x^4} + {x^5} + C\).

Do đó \(A = \dfrac{3}{4},\alpha  = 4,B = 1,\beta  = 5\)\( \Rightarrow P = A.\alpha  + B.\beta  = \dfrac{3}{4}.4 + 1.5 = 8\)

Chọn D

Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{7 + 1}}{2} = 4\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3\end{array} \right.\)  suy ra \(I\left( {4;0;3} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {1 - 7} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt {14} \)

Mặt cầu đường kính \(AB\) nhận trung điểm \(I\left( {4;0;3} \right)\) của \(AB\) làm tâm và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14\) .

Chọn B

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 4}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{3}\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1;3;3} \right)\).

\(\left( Q \right) \bot d\) nên \(\left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;3;3} \right)\) làm VTPT.

\(\left( Q \right)\) đi qua \(P\left( {3;1;3} \right)\) nên \(\left( Q \right):1\left( {x - 3} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(x + 3y + 3z - 15 = 0\).

Chọn D

Mặt phẳng \(\left( P \right):5x + 3y - 2z + 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow u  = \left( {5;3; - 2} \right)\).

Chọn A

Ta có: \(A\left( {5;0;4} \right)\), \(B\left( {3;4;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;4; - 2} \right)\).

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) đi qua trung điểm \(I\left( {4;2;3} \right)\) của \(AB\) và nhận \( - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \left( P \right):1\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(x - 2y + z - 3 = 0\).

Chọn D

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} + \dfrac{z}{3} = 1\) .

Chọn B