Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} .\)
A. I = -1
B. \(I = \frac{1}{2}\)
C. \(I =- \frac{1}{2}\)
D. I = 1
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} \)
\(= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.\cos x.f'\left( {\sin x} \right)dx} \).
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2.\left[ {\left. {\left( {t.f\left( t \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = 1.\end{array}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian Oxyz, điểm \(M\left( {3;4; - 2} \right)\) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) và \(N\left( {0;1;2} \right)\) là
Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - 5} \right)dx} .\)
Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 10\) và \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(\int\limits_0^8 {f\left( x \right)dx} .\)
Trong không gian Oxyz, cho \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\). Đường thẳng nào sau đây song song với d?
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;2;3} \right)\) và \(B\left( {3;0; - 2} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} .\)
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) có phương trình là
Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\).
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của\(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(F\left( 0 \right) = 2,\) \(F\left( 3 \right) = 7\). Tính \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx.\)
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 1;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 3; - 1;2} \right)\). Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b .\)
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ\(\overrightarrow a = \left( { - 2;0;1} \right),\) \(\overrightarrow b = \left( {1;2; - 1} \right),\) \(\overrightarrow c = \left( {0;3; - 4} \right)\). Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b + 3\overrightarrow c .\)
Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: \(\frac{{x - 4}}{7} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z + 7}}{{ - 5}}\)
Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 6z + 14 = 0\). Tính \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{2019} {f\left( x \right)dx} = 1\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {2019x} \right)dx} .\)
