Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}$, mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x + y - z + 3 = 0$ và điểm $A\left( {1;2 - 1} \right)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ cắt $d$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-m=0.$ Tìm tất cả m để $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;0;3} \right),B\left( {11; - 5; - 12} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng  $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$, điểm $A (2;  -1; 1)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Viết phương trình mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và đi qua $A$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$. Giả sử $M \in \left( P \right)$ và $N \in \left( S \right)$  sao cho $\overrightarrow {MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)$ và khoảng cách $MN$ lớn nhất. Tính $MN$ 

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho các điểm  $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua  $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy)$ có bán kính là :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right),$ $C\left( {3; - 1; - 1} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1,2,3} \right)$ và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: ${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và ${d_2}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{2}$ là: 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 1;0;0 \right),\,\,B\left( 0;2;0 \right),\,\,C\left( 0;0;-\,3 \right).$ Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC,$ thì độ dài đoạn $OH$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho hai điểm  $A(0;2; - 1)$ , $B(2;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :$M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị bé nhất.

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow u$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow n$. Nếu $d//\left( P \right)$ thì:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây? 

 Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x+y+z-5=0$ và $\left( Q \right):x+2y+z-4=0.$ Khi đó, giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có phương trình là 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;0;-\,2 \right),$ bán kính $R=4\,\,?$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập tất cả giá trị của tham số $m$ để mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0$  đi qua điểm $A\left( {1;1;1} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j$. Tọa độ của điểm $M$ là:

Tung độ của điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow j  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0$. Tiếp diện của $(S)$ tại điểm $M(-1;2;0)$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 2;3} \right),B\left( {1;0; - 1} \right)$.  Gọi $M$ là trung điểm đoạn  $AB$. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1; - 2;3)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}$. Tính đường kính của mặt cầu $(S)$ có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

$A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

Trong  không  gian với   hệ  tọa  độ $Oxyz$,  cho đường  thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 4}}$ và $d':\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$  . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ nhưng thuộc đường thẳng $d'$?

Véc tơ đơn vị trên trục $Ox$ là:

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-m=0.$ Tìm tất cả m để $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phươn trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho $T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ và đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z$ . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta$ và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là 

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0$  theo một đường tròn bán kính bằng $\sqrt{8}$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.$ và $\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}$.

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng ${d_3}$ qua $M\left( {1; - 1;2} \right)$ và vuông góc với cả ${d_1},\,\,{d_2}.$

Trong không gian với hệ tọa độ , cho $A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)$ và mặt phẳng (P). Gọi $D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)$ thuộc $(\alpha ) : 3x+4y+5z+1=0$ sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức $S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho hai điểm  $A(0;2; - 1)$ , $B(2;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :$M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị bé nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-\,2}$ đi qua điểm

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 3,1,2} \right),{\rm{ }}B\left( {1, - 1,0} \right)$. Phương trình mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm là:

 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\,\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$. Đường thẳng d có một VTCP là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x  +  4y  -  4z  -  m  =  0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng đi qua $M(1;-1;2)$ và chứa trục Ox. Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$?       

Xét đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$  và mặt cầu $(S)$ có phương trình  ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4$. Nhận xét nào sau đây đúng.

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,x+2y-2z+7=0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây? 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 3;2;1} \right)$ và $B\left( {5; - 4;1} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;0} \right)$ và $B\left( {0;1;2} \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức  $\overrightarrow {OM}  = 2\vec i + \vec j$. Tọa độ của điểm  $M$ là

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u  = \left( {m;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {0;n;p} \right)$. Biết $\overrightarrow u  = \overrightarrow v$, giá trị $T = m - n + p$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {1;1 - 2} \right)$; $\overrightarrow b  = \left( {2;1; - 1} \right)$. Tính  $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Cho $\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là cặp VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?