Phép chia hết, bội và ước của một số nguyên
I. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên
1.Phép chia hết
Cho a,b∈Z và b≠0. Nếu có số nguyên q sao cho a=bq thì:
Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a⋮b.
Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu a:b=q.
Ví dụ:
(−15)=3.(−5) nên ta nói:
+) −15 chia hết cho (−5)
+) −15:(−5)=3
+) 3 là thương của phép chia −15 cho −5.
2.Phép chia hai số nguyên khác dấu
Để chia hai số nguyên khác dấu ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại
Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.
Ví dụ:
- a) (−27):3=−(27:3)=−9.
- b) 36:(−9)=−(36:9)=−4
3.Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu
Để chia hai số nguyên âm ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số.
Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.
Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.
Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.
Chú ý:
Cách nhận biết dấu của thương:
(+):(+)=(+)(−):(−)=(+)(−):(+)=(−)(+):(−)=(−)
Ví dụ:
- a) (−36):(−4)=36:4=9
- b) (−35):(−7)=35:7=5.
II. Bội và ước của một số nguyên
Cho a,b∈Z. Nếu a⋮b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
Nhận xét:
- Nếu a là bội của b thì −a cũng là bội của b.
- Nếu b là ước của a thì −b cũng là ước của a.
Chú ý: Khi c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c được gọi là ước chung của a và b.
Kí hiệu ước chung của hai số nguyên a,b là ƯC(a, b).
Ví dụ 1:
a) 5 là một ước của −30 vì (−30)⋮5.
b) −42 là một bội của −7 vì (−42)⋮(−7).
Ví dụ 2:
a) Các ước của 4 là: 1;−1;2;−2;4;−4.
b) Các bội của 8 là: 0;8;−8;16;−16;...
Ví dụ 3:
Ta thấy 1;−1;2;−2 vừa là ước của 6, vừa là ước của 4 nên chúng gọi là ước chung của 6 và 4.
Khi đó ta viết: ƯC(6; 4)={1;-1;2;-2}.