Ta có: \({\tan ^2}3x - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {\tan 3x - 1} \right)\left( {\tan 3x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 3x = 1\\\tan 3x =  - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\3x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\\x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án D.

Điều kiện xác định:\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án C.

Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \;\left( {a,b,c \in \left\{ {2,3,4,5,6,7} \right\}} \right)\)

Theo yêu cầu đề bài ta có:

+ c có 3 cách chọn.

+ a có 6 cách chọn

+ b có 6 cách chọn.

Số các số cần tìm là \(3.6.6 = 108\) (số)

Chọn đáp án D.

Ta có: \(P = {\sin ^2}{45^0} - \cos {60^0} \) \(= {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0\)

Chọn đáp án A.

Gọi \({T_{\vec v}}\left( M \right) = {M_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_2}}  = \vec v\)

Từ \(\overrightarrow {M{M_2}}  = 2\overrightarrow {PQ}  \Rightarrow 2\overrightarrow {PQ}  = \vec v\)

Chọn C.

\({T_{\vec v}}\left( A \right) = B \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \vec v \) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = 1 + 1 = 2}\\{{y_B} = 2 + 3 = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {2;5} \right)\)

Chọn A.

Lấy \(M\left( {x;y} \right) \in (C)\) tùy ý , ta có \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1(*)\).

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = {T_{\vec v}}\left( M \right)\)

Vì \({T_{\vec v}}\left( C \right) = \left( {C'} \right) \Rightarrow M' \in \left( {C'} \right)\)

Ta có \({T_{\vec v}}\left( M \right) = M' \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = x - 3\\
y' = y - 2
\end{array} \right.\)

 \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = x' + 3}\\{y = y' + 2}\end{array} \Rightarrow M\left( {x' + 3;y' + 2} \right)} \right.\)

Thay vào (*) ta được \({\left( {x' + 3} \right)^2} + {\left( {y' + 1} \right)^2} = 1\)

Mà \(M'\left( {x';y'} \right) \in \left( {C'} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn\(\left( {C'} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)

Chọn A.

Ta có: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - \cos 2x =  - \sqrt 2  \) \(\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\) \( \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow 2x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{8} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án C.

Xét phương trình \(5\sin x - 2\cos x = 3\) có: \({5^2} + {\left( { - 2} \right)^2} > {3^2}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(5\sin x - 2\cos x = 3\) có nghiệm.

Chọn đáp án A.

Ta có: \(y = 7\cos 5x - 1\) \( \Rightarrow 7.\left( { - 1} \right) - 1 \le y \le 7.1 - 1\) \( \Leftrightarrow  - 8 \le y \le 6\)

Chọn đáp án C.

Các số tự nhiên có 3 chữ số là từ \(100 \to 999\) nên có tổng là 900 số.

Chọn đáp án A.

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \;\left( {a,b,c,d \in \left\{ {1,2,...,9} \right\}} \right)\)

Theo yêu cầu bài ta có:

+ a có 9 cách chọn.

+ b có 8 cách chọn.

+ c có 7 cách chọn.

+ d có 6 cách chọn.

Số các số cần tìm là \(9.8.7.6 = 3024\)(số)

Chọn đáp án A.

Theo yêu cầu đề bài:

+ Từ A đến B có 6 cách chọn đường.

+ Từ B đến C có 7 cách chọn đường.

Khi đó từ A đến C phải đi qua B có 42 cách chọn.

Chọn đáp án C.

Khẳng định C sai vì khi d cắt a mà d vuông góc a thì d trùng d'.

Chọn C.

Gọi \(\left( {P'} \right) = \)Đ­_Oy (P)

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right)\) tùy ý.

Đ_Oy(M) = \(M'\left( {x';y'} \right) \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' =  - x}\\{y' = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - x'}\\{y = y'}\end{array}} \right. \) \(\Rightarrow M\left( { - x';y'} \right)\)

Vì \(M \in \left( P \right)\) nên \({y'^2} =  - x'\)

Mặt khác\(M' \in \left( {P'} \right)\)

Vậy phương trình parabol \(\left( {P'} \right):{y^2} =  - x\)

Chọn B.

Gọi \(M'(x';y')\) là ảnh của M qua Đ_Ox

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1; - 5} \right)\)

Chọn C.

Phép đối xứng tâm có đúng 1 điểm biến thành chính nó. Điểm đó là tâm đối xứng.

Chọn B.

Ta có: \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\) \( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \(5 + 4\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - \dfrac{5}{4} < - 1\)

\( \Rightarrow \) phương trình  \(5 + 4\cos x = 0\) vô nghiệm.

Chọn đáp án D.

Theo yêu cầu bài:

+ Có 5 cách chọn món ăn

+ Có 5 cách chọn hao quả tráng miệng.

+ Có 3 cách chọn loại nước.

Vậy có 75 cách chọn thực đơn.

Chọn đáp án B.

Theo yêu cầu của bài toán

+ Một tuần có 7 ngày.

+ Mỗi ngày đi thăm một bạn trong 12 bạn

+ Có thể đi thăm một bạn nhiều lần.

Bạn A có thể lập được \({12^7} = 35831808\)

Chọn đáp án B.

Gọi \(d' = \)ĐI (d)

Giả sử phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\) biến \(M\left( {x;y} \right) \in d\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) suy ra \(M' \in d'\)

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2.1 - x = 2 - x}\\{y' = 2.2 - y = 4 - y}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - x'}\\{y = 4 - y'}\end{array}} \right. \) \(\Rightarrow M\left( {2 - x';4 - y'} \right).\)

\(M\left( {x;y} \right) \in d\) nên ta có \(\left( {2 - x'} \right) + \left( {4 - y'} \right) - 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow x' + y' - 4 = 0\)

Mà \(M' \in d'\)

Vậy \(d':x + y - 4 = 0\)

Chọn B.

Lấy \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) tùy ý, ta có \({x^2} + {y^2} = 1\,\,\left( * \right)\)

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = \) ĐI (M) \( \Rightarrow M' \in \left( {C'} \right)\)

Do ĐI (M) = \(M'\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2.1 - x}\\{y' = 2.0 - y}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2 - x}\\{y' =  - y}\end{array}} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - x'\\y =  - y'\end{array} \right.\)

Thay vào (*) ta được: \({(2 - x')^2} + {( - y')^2} = 1\) \( \Leftrightarrow {(x' - 2)^2} + y{'^2} = 1\)

Mà \(M' \in \left( {C'} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\)là: \({(x - 2)^2} + {y^2} = 1\)

Chọn A.

Ta có: \(y = \cos x = \cos \left( { - x} \right) \Rightarrow \)\(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Chọn đáp án B.

Ta có: \(2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 2(VN)\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án C.

Ta có: \(\tan \left( {2x} \right) = \tan {\rm{8}}{0^0}\) \( \Leftrightarrow 2x = {80^0} + k{180^0} \) \(\Leftrightarrow x = {40^0} + k{90^0}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án B.

Có 3 phép quay tâm O góc \(\alpha ,0 < \alpha  \le 2\pi \) biến tam giác đều tâm O thành chính nó .

Đó là các phép quay với góc quay lần lượt bằng: \(\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3},2\pi \).

Chọn C.

Ta có \({Q_{\left( {O;\varphi } \right)}}(A) = M\) suy ra

+ OA= OM nên (I) đúng.

+ (II) xảy ra khi \(\Delta OAM\) vuông tại O, nói chung điều này không đúng, nên (II) sai.

+ \(\left( {OA,OM} \right) = \varphi \) nên (III) sai.

Chọn C.

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = {Q_{\left( {O;{{30}^0}} \right)}}(M)\) .

Áp dụng biểu thức tọa độ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha }\\{y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha }\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 3\cos {{30}^0} - 4\sin {{30}^0} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} - 2}\\{y' = 3\sin {{30}^0} + 4\cos {{30}^0} = \dfrac{3}{2} + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow M'\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} - 2;\dfrac{3}{2} + 2\sqrt 3 } \right)\)

Chọn D.

Gọi \({d_1} = \)Đ_O (d)

Gọi \({M_1}({x_1};{y_1})\)là ảnh của \(M(x;y) \in d\) qua Đ_O\( \Rightarrow {M_1} \in {d_1}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - x\\{y_1} =  - y\end{array} \right.\)

Gọi \({d_2} = {T_{\overrightarrow v }}({d_1})\)

Gọi \({M_2}({x_2};{y_2})\)là ảnh của \({M_1} \in {d_1}\) qua \({T_{\overrightarrow v }}\) \( \Rightarrow {M_2} \in {d_2}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 3\\{y_2} = {y_1} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} =  - x + 3\\{y_2} =  - y + 2\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - {x_2}\\y = 2 - {y_2}\end{array} \right.\)

Mà \(M(x;y) \in d\)

Do đó \(3 - {x_2} + 2 - {y_2} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_2} + {y_2} - 3 = 0\)

Mặt khác \({M_2} \in {d_2}\)

Vậy \({d_2}:x + y - 3 = 0\)

Chọn D.

Ta có: \(1 + \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \cos x =  - 1 \) \(\Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án B.

Ta có: \(\sin 6x - \cos 4x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 6x = \cos 4x\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {6x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos 4x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - \dfrac{\pi }{2} = 4x + k2\pi \\6x - \dfrac{\pi }{2} =  - 4x + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án A.

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \;\left( {a,b,c,d \in \left\{ {1,2,3,..,7} \right\};a \ne b \ne c \ne d} \right)\)

Theo yêu cầu bài toán ta có:

+ d có 3 cách chọn.

+ a có 6 cách chọn.

+ b có 5 cách chọn.

+ c có 4 cách chọn.

Vậy số các số cần tìm là \(6.5.4.3 = 360\)(số)

Chọn đáp án A.

Gọi số cần tìm dạng \(\overline {abcd} \;\left( {a,b,c,d \in \left\{ {2,3,4,5} \right\}} \right)\)

Theo yêu cầu của bài toán:

+ a có 4 cách chọn.

+ b có 4 cách chọn.

+ c có 4 cách chọn.

+ d có 4 cách chọn.

Số các số cần tìm là \({4^4} = 256\)

Chọn đáp án A.

Gọi số cần tìm dạng \(\overline {abcdefgh} \)

Theo yêu cầu bài toán ta có:

+ h có 3 cách chọn.

+ a có 7 cách chọn.

+ b có 6 cách chon.

+ c có 5 cách chọn.

+ d có 4 cách chọn.

+ e có 3 cách chọn.

+ f có 2 cách chọn.

+ g có 1 cách chọn.

Vậy số các số cần tìm là 15120.

Chọn đáp án B

Phương trình \(\cos 4x = 3m - 5\) có nghiệm khi và chỉ khi: \( - 1 \le 3m - 5 \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} \le m \le 2\)

Chọn đáp án B.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow {GA'} ,\,\overrightarrow {GB}  =  - 2\overrightarrow {GB'} ,\) \(\overrightarrow {GC}  =  - 2\overrightarrow {GC'} .\)

Do đó phép vị tự \({V_{\left( {G; - 2} \right)}}\) biến tam giác \(A'B'C'\) thành tam giác ABC.

Chọn B.

Giả sử hai đường tròn \(\left( C \right),\,\left( {C'} \right)\) có tâm và bán kính lần lượt là \(O,O'\) và \(R,R'\)

\(\left( {C'} \right)\) có phương trình : \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\)có tâm \(O'\left( { - 2;1} \right),R' = 3\)

Vì \({V_{(I;3)}}(C) = (C') \Rightarrow {V_{(I;3)}}(O) = (O')\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 = 3x + \left( {1 - 3} \right).1}\\{ - 1 = 3y + \left( {1 - 3} \right).0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = \dfrac{{ - 1}}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow O(0;\dfrac{{ - 1}}{3})\)

Lại có  \(R' = 3R \Leftrightarrow R = 1(do\,{V_{(I;3)}}(C) = (C')\,\,)\)

Vậy phương trình của (C) là: \({x^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{3}} \right)^2} = 1\)

Chọn C.

Phương trình \(2\cos 4x - {\rm{sin4}}x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi: \({2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 5\)

\( \Leftrightarrow  - \sqrt 5  \le m \le \sqrt 5 \).

Chọn đáp án C.

Gọi \(A'(x';y')\).

Ta có \({V_{\left( {I;2} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {IA'}  = 2\overrightarrow {IA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 0}\\{y' = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow A'\left( {0;5} \right)\)

Gọi \(B'(x'';y'')\)

Vì ĐB\(\left( {A'} \right) = B'\)

nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x'' = 2.\left( { - 3} \right) - 0 =  - 6}\\{y'' = 2.1 - 5 =  - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow B'\left( { - 6; - 3} \right)\)

Chọn C.