So sánh hai phân số (nâng cao)

4. Một số cách so sánh khác

Dạng 1: So sánh với $1$

Ví dụ: So sánh hai phân số $\dfrac{5}{9}$ và $\dfrac{8}{7}$

Cách giải:

Ta thấy  $\dfrac{5}{9} < 1$ và  $1 < \dfrac{8}{7}$ nên $\dfrac{5}{9} < \dfrac{8}{7}$.

Dạng 2: So sánh với phân số trung gian

Phương pháp giải:

Bước 1: Chọn phân số trung gian.

Bước 2: So sánh hai phân số ban đầu với phân số trung gian.

Bước 3: Rút ra kết luận.

Lưu ý: So sánh hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$  ($a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}d$ khác $0$ )

Nếu $a > c$ và $b < d$ (hoặc $a < c$ và $b > d$ )  thì ta có thể chọn phân số trung gian là $\dfrac{a}{d}$ hoặc $\dfrac{c}{b}$.

Ví dụ: So sánh hai phân số $\dfrac{{27}}{{49}}$ và $\dfrac{{28}}{{39}}$

Cách giải:

Chọn phân số trung gian là $\dfrac{{27}}{{39}}$

Ta thấy  $\dfrac{{27}}{{49}} < \dfrac{{27}}{{39}}$ và $\dfrac{{27}}{{39}} < \dfrac{{28}}{{39}}$ nên $\dfrac{{27}}{{49}} < \dfrac{{28}}{{39}}$.

Dạng 3: So sánh bằng phần bù 

Điều kiện áp dụng: Nhận thấy mẫu số lớn hơn tử số ( phân số bé hơn $1$) và hiệu của mẫu số với tử số của tất cả các phân số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần bù với $1$.

Chú ý: Phần bù của một phân số là phân số có tử số bằng hiệu của mẫu số và tử số của phân số ban đầu và giữ nguyên mẫu số.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm phần bù của hai phân số.

Bước 2: So sánh hai phần bù với nhau.

Bước 3: Rút ra kết luận.

Ví dụ: So sánh hai phân số $\dfrac{{456}}{{457}}$ và $\dfrac{{458}}{{459}}$

Cách giải:

Phần bù của  $\dfrac{{456}}{{457}}$ là $\dfrac{1}{{457}}$

Phần bù của  $\dfrac{{458}}{{459}}$ là $\dfrac{1}{{459}}$

Vì $457 < 459$ nên $\dfrac{1}{{457}} > \dfrac{1}{{459}}$.

Do đó:  $\dfrac{{456}}{{457}} < \dfrac{{458}}{{459}}$.

Dạng 4: So sánh bằng phần hơn

Điều kiện áp dụng: Nhận thấy tử số lớn hơn mẫu số ( phân số lớn hơn $1$) và hiệu của tử số với mẫu số của tất cả các phân số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần hơn với $1$.

Chú ý: Phần hơn của một phân số là phân số có tử số bằng hiệu của tử số và mẫu số của phân số ban đầu và giữ nguyên mẫu số.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm phần hơn của hai phân số.

Bước 2: So sánh hai phần hơn với nhau

Bước 3: Rút ra kết luận.

Ví dụ: So sánh hai phân số $\dfrac{{999}}{{997}}$ và $\dfrac{{579}}{{577}}$

Cách giải:

Phần hơn của $\dfrac{{999}}{{997}}$  là $\dfrac{2}{{997}}$

Phần hơn của $\dfrac{{579}}{{577}}$  là $\dfrac{2}{{577}}$

Vì $997 > 577$ nên $\dfrac{2}{{997}} < \dfrac{2}{{577}}$ .

Do đó $\dfrac{{999}}{{997}} < \dfrac{{579}}{{577}}$.