Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiĐề thi HK2 môn Toán 11 năm 2021-2022 - Trường THPT Bạch Đằng
-
Hocon247
-
40 câu hỏi
-
60 phút
-
74 lượt thi
-
Trung bình
Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), góc giữa đường thẳng \(A'C'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng:
.JPG)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot BB'\\A'B' \bot B'C'\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
\( \Rightarrow B'C'\) là hình chiếu của \(A'C'\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {A'C';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle \left( {A'C';B'C'} \right) = \angle A'C'B' = {45^0}\).
Vậy \(d\left( {A'C';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = {45^0}\).
Chọn A.
Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành hình lăng trụ tứ giác đều?
Lăng trụ tứ giác đều có các mặt bên là hình chữ nhật và 2 mặt đáy là hình vuông.
Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BC\). Khi đó, \(BC\) vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
.JPG)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).
Mà \(AH \subset \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Chọn C.
Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) và \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Hỏi tứ diện \(ABCD\) có bao nhiêu mặt là tam giác vuông ?
.JPG)
Ta có \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC,\,\,\Delta ABD\) là các tam giác vuông.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BC\\CD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CD \bot AC\)
\( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C\).
Vậy tứ diện \(ABCD\) có 4 mặt đều là tam giác vuông.
Chọn D.
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\].
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) có TXĐ \(D = \left[ {6; + \infty } \right)\).
Do đó ba hàm số trên không thể liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và có đáy là hình thoi tâm \(O\). Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là góc giữa cặp đường thẳng nào?
.JPG)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right)\).
\( \Rightarrow \) \(SO\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {SAC} \right)\).
\(\angle \left( {SB;\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;SO} \right)\).
Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thang vuông có chiều cao \(AB = a\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
.JPG)
\(IJ\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\).
\( \Rightarrow IJ//AD \Rightarrow IJ//\left( {SAD} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {IJ;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right)\).
Ta có \(BI \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)}} = \dfrac{{IA}}{{BA}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)\).
Có: \(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot SA\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {SAD} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = BA = a \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{a}{2}\).
Vậy \(d\left( {IJ;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{a}{2}\).
Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a,\,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng:
.JPG)
Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\end{array}\)
Tam giác \(SAB\) có \(SA \bot AB\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right),\,\,SA = AB = a \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} }}{{2x + 3}}\) bằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} }}{{2x + 3}} = \dfrac{{2.\left| { - 1} \right| - 5\sqrt 1 }}{{ - 4 + 3}} = 3\).
Chọn D.
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{{x^4}}}{2} + \dfrac{{5{x^3}}}{3} - \sqrt {2x} + {a^2}\) (a là hằng số) bằng:
\(y' = 2{x^3} + 5{x^2} - \dfrac{2}{{2\sqrt {2x} }} = 2{x^3} + 5{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}\).
Chọn C.
Tính \(\lim \dfrac{{8{n^2} + 3n - 1}}{{4 + 5n + 2{n^2}}}\).
\(\lim \dfrac{{8{n^2} + 3n - 1}}{{4 + 5n + 2{n^2}}} = \lim \dfrac{{8 + \dfrac{3}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{4}{{{n^2}}} + \dfrac{5}{n} + 2}} = \dfrac{8}{2} = 4\).
Chọn C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{1}{{x - 3}}\) bằng:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3} \right) = 0,\,\,x \to {3^ - } \Rightarrow x - 3 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{1}{{x - 3}} = - \infty \).
Chọn B.
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại \(x = 1\) ?
Xét đồ thị hàm số ở đáp án D ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\). Do đó hàm số ở đáp án D không liên tục tại \(x = 1\).
Chọn D.
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:
.JPG)
.JPG)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có \(GS \cap \left( {ABC} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{GM}}{{SM}} = \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)\).
Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) suy ra \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Trong tam giác vuông \(SAH:\,\,SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{9}\).
Chọn C.
Hàm số \(y = \tan x - \cot x + \cos \dfrac{x}{5}\) có đạo hàm bằng:
\(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\).
Chọn B.
Hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^2} + 5}}\) có đạo hàm bằng:
\(y' = - \dfrac{{\left( {{x^2} + 5} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}}} = - \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}}}\).
Chọn D.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Chọn B.
Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
\(\begin{array}{l} + )\,\,\lim \dfrac{{1 + {{2.2017}^n}}}{{{{2016}^n} + {{2018}^n}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{{2018}^n}}} + 2.{{\left( {\dfrac{{2017}}{{2018}}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{{2016}}{{2018}}} \right)}^n} + 1}} = 0\\ + )\,\,\lim \dfrac{{1 + {{2.2018}^n}}}{{{{2016}^n} + {{2017}^{n + 1}}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{{2018}^n}}} + 2}}{{{{\left( {\dfrac{{2016}}{{2018}}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{{2017}}{{2018}}} \right)}^n}.2017}} = + \infty \\ + )\,\,\lim \dfrac{{1 + {{2.2018}^n}}}{{{{2017}^n} + {{2018}^n}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{{2018}^n}}} + 2}}{{{{\left( {\dfrac{{2017}}{{2018}}} \right)}^n} + 1}} = 2\\ + )\,\,\lim \dfrac{{{{2.2018}^{n + 1}} - 2018}}{{{{2016}^n} + {{2018}^n}}} = \lim \dfrac{{2.2018 - \dfrac{{2018}}{{{{2018}^n}}}}}{{{{\left( {\dfrac{{2016}}{{2018}}} \right)}^n} + 1}} = 2.2018\end{array}\)
Chọn A.
Cho đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hãy chọn mệnh đề đúng.
.JPG)
Dễ thấy hàm số liên tục tại \(x = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \Rightarrow \) Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\).
Chọn C.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\mx + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\). Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 3\) khi \(m\) bằng:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( { - \sqrt {x + 1} - 2} \right) = - 4\\f\left( 3 \right) = 3m + 2\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại điểm \(x = 3\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 3m + 2 = - 4 \Leftrightarrow m = - 2\).
Chọn A.
Cho hàm số \(S\left( r \right)\) là diện tích hình tròn tính theo bán kính \(r\,\,\left( {r > 0} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có \(S\left( r \right) = \pi {r^2} \Rightarrow S'\left( r \right) = 2\pi r\).
Vậy \(S'\left( r \right)\) là chu vi của đường tròn bán kính \(r\).
Chọn D.
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ax + \sqrt {{x^2} - 3x + 5} }}{{2x - 7}} = 2\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ax + \sqrt {{x^2} - 3x + 5} }}{{2x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{a + \sqrt {1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{2 - \dfrac{7}{x}}} = \dfrac{{a + 1}}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{a + 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow a + 1 = 4 \Leftrightarrow a = 3\end{array}\)
Vậy \(2 < a < 5\).
Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D,\,\,AB = 2a\), \(AD = DC = a,\,\,SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tang của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng:
.JPG)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\). Dễ dàng chứng minh được \(ADCE\) là hình vuông.
\( \Rightarrow CE = AD = a = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C \Rightarrow AC \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SC \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset AC \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).
\(ADCE\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông \(SAC:\,\,\tan \angle SCA = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Chọn A.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}}\,\,khi\,\,x < 2\\mx + m + 1\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = 2\).
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{x} = \dfrac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1\\f\left( 2 \right) = 3m + 1\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{6}\).
Chọn B.
Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
.JPG)
Ta có \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD\).
Lại có \(BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AC\).
\( \Rightarrow AC \bot \left( {B'BD} \right)\). Mà \(AC \subset \left( {AB'C} \right) \Rightarrow \left( {AB'C} \right) \bot \left( {B'BD} \right)\).
Chọn B.
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(S = S\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2}\), trong đó \(t\) được tính abnwgf giây và \(S\) được tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vận tốc của vật được tính theo công thức \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t\).
Ta có \(v\left( 4 \right) = 24,\,\,v\left( 3 \right) = 9\).
Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 3s\) là \(v = 9m/s\).
Chọn D.
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đường thẳng nào trong các đường sau:
.JPG)
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SA\).
Chọn A.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{4}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\) là:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = - 1\) và \(y\left( { - 1} \right) = - 2\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành \(x = - 1\) là : \(y = - \left( {x + 1} \right) - 2 = - x - 3\).
Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,D\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết \(SA = AD = DC = a\) , \(AB = 2a\). Khẳng định nào sau đây là sai ?
.JPG)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\). Dễ dàng chứng minh được \(ADCE\) là hình vuông.
\( \Rightarrow CE = AD = a = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C \Rightarrow AC \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right).\) Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\). Mà \(CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).
Vậy đáp án A sai.
Chọn A.
Tính số gia \(\Delta y\) của hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) theo \(\Delta x\) tại \({x_0} = 2\).
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\left( {2 + \Delta x} \right)}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = - \dfrac{{\Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\end{array}\)
Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa cạnh bên \(SC\) với mặt phẳng đáy là \({60^0}\). Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
.JPG)
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Ta có \(AC \cap \left( {SBD} \right) = O \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{CO}}{{AO}} = 1\).
\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {SAO} \right)\) dựng \(AH \bot SO\,\,\left( {H \in SO} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\).
\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {60^0}\).
\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Trong tam giác vuông \(SAC:\,\,SO = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAO\) ta có: \(AH = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {78} }}{{13}}\).
Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - \dfrac{{m{x^2}}}{2} + \left( {3 - m} \right)x - 2\). Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = m{x^2} - mx + 3 - m\).
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\1 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta = {m^2} - 4m\left( {3 - m} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\5{m^2} - 12m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\0 < m < \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < \dfrac{{12}}{5}\end{array}\).
Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\) . Góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng :
.JPG)
Ta có\(BC//AD \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD,BC\).
Ta có \(SA \bot AD \Rightarrow SA \bot Sx\).
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow SB \bot Sx\).
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SB} \right) = \angle ASB\).
Xét tam giác vuông \(SAB:\,\,\tan \angle ASB = \dfrac{{AB}}{{SA}} = 1 \Rightarrow \angle ASB = {45^0}\).
Vậy \(\angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}\).
Chọn D.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 2018} \right)}}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\).
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 2018} \right)\\\,\,\,\, - x\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 2018} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 2018} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 2017} \right)} \right]\end{array}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 2018} \right)} \right]}^2}}}\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{{\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - 2018} \right)}}{{{{\left[ {\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - 2018} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - 2018} \right)}} = \dfrac{1}{{2018!}}\end{array}\)
Chọn D.
Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường hình vuông cạnh bằng \(1m\). Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là \(1,2,3,...,n,...\) (các hình vuông được tô chấm bi), trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (hình vẽ). Giả sử quy trình tô màu của Việt có thể diễn ra nhiều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt đầu nhỏ hơn \(\dfrac{1}{{1000}}{m^2}\)?
.JPG)
Diện tích hình vuông 1 là \({S_1} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\).
Diện tích hình vuông 2 là \({S_2} = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2}\).
….
Diện tích hình vuông thứ \(n\) là \({S_n} = {\left( {\dfrac{1}{{{2^n}}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{{4^n}}}\).
Theo bài ra ta có \({S_n} < \dfrac{1}{{1000}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{4^n}}} < \dfrac{1}{{1000}} \Leftrightarrow {4^n} > 1000 \Leftrightarrow n > 4,98\).
Vậy bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ 5 thì diện tích của hình vuông được tô bắt đầu nhỏ hơn \(\dfrac{1}{{1000}}{m^2}\).
Chọn C.
Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2018}} + x - 2}}{{{x^{2017}} + x - 2}}\) bằng \(\dfrac{a}{b}\) với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của \({a^2} - {b^2}\).
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2018}} + x - 2}}{{{x^{2017}} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2018}} - 1 + x - 1}}{{{x^{2017}} - 1 + x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2017}} + {x^{2016}} + ... + 1} \right) + x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2016}} + {x^{2015}} + ... + 1} \right) + x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2017}} + {x^{2016}} + ... + 1 + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2016}} + {x^{2015}} + ... + 1 + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2017}} + {x^{2016}} + ... + 1 + 1}}{{{x^{2016}} + {x^{2015}} + ... + 1 + 1}} = \dfrac{{2018}}{{2017}}\\ \Rightarrow a = 2018,\,\,b = 2017\\ \Rightarrow {a^2} - {b^2} = {2018^2} - {2017^2} = \left( {2018 - 2017} \right)\left( {2018 + 2017} \right) = 4035\end{array}\)
Chọn B.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi, \(O\) là giao điểm của 2 đường chéo và \(SA = SC\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
.JPG)
Tam giác \(SAC\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot AC\).
Lại có \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình thoi) \( \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\).
Chọn C.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a\cos x + 2\sin x - 3x + 1\). Tìm \(a\) để phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - a\sin x + 2\cos x - 3 = 0\) (*).
Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + 4 \ge 9 \Leftrightarrow {a^2} \ge 5 \Leftrightarrow \left| a \right| \ge \sqrt 5 \).
Chọn B.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {2x + 1} \), biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng \(x - 3y + 6 = 0\).
TXĐ: \(D = \left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Ta có \(y' = \dfrac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2{x_0} + 1} }}\).
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(x - 3y + 6 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x + 2\) nên:
\(\dfrac{1}{{\sqrt {2{x_0} + 1} }} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 2{x_0} + 1 = 9 \Leftrightarrow {x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = 3\).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = \dfrac{1}{3}\left( {x - 4} \right) + 3 = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\).
Chọn D.
Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ \({0^0}C\). Tại thời điểm \(t = 0\) người ta cung cấp nhiệt cho nó. Nhiệt độ của bình bắt đầu tăng lên và tại mỗi thời điểm \(t\), nhiệt độ của nó được ước tính bởi hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {t - 1} \right)^3} + 1\,\,\left( {^0C} \right)\). Hãy so sánh tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại hai thời điểm \({t_1} = 0,5s\) và \({t_2} = 1,25s\).
Ta có \(f'\left( t \right) = 3{\left( {t - 1} \right)^2}\).
Tốc độ tăng nhiệt tại thời điểm \({t_1} = 0,5s\) là \(f'\left( {0,5} \right) = 0,75\).
Tốc độ tăng nhiệt tại thời điểm \({t_2} = 1,25s\) là \(f'\left( {1,25} \right) = 0,1875\).
Vậy nhiệt độ tại thời điểm \({t_1}\) tăng nhanh hơn tại thời điểm \({t_2}\).
Chọn A.
