Ta có: \(y = \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x \)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)\\ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6}\sin 2x - \sin \frac{\pi }{6}\cos 2x} \right) \end{array}\)

\(= 2\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right)\)

\(\Rightarrow y \in \left[ { - 2;2} \right]\)

Ta có: 

\(2\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{24}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có:

\(y = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\cos x - 3\sin x + 4}} \\\Leftrightarrow y\left( {\cos x - 3\sin x + 4} \right) = \sin x + 2\cos x + 1\)

\(\Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\cos x - \left( {3y + 1} \right)\sin x = 1 - 4y\)

Điều kiện có nghiệm: \({\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {3y + 1} \right)^2} \ge {\left( {1 - 4y} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow {y^2} - 4y + 4 + 9{y^2} + 6y + 1 \ge 1 - 8y + 16{y^2}\)

\(\Leftrightarrow 6{y^2} - 10y - 4 \le 0\\\Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le y \le 2\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{{ - 1}}{3}\)

Ta có: \(\cos 5x + \cos x = \sin 2x - \sin 4x\)

\( \Leftrightarrow 2\cos 3x.\cos 2x = - 2\cos 3x\sin x\)

\(\Leftrightarrow 2\cos 3x\left( {\cos 2x + \sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos 3x\left( { - 2{{\sin }^2}x + \sin x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2\cos 3x\left( {1 - \sin x} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\sin x = 1\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là \(\left\{ { - \dfrac{{5\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right\}\)

Tổng các nghiệm bằng: 0

Điều kiện xác định:

\(1 - \cos 3x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1\\ \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{{2\pi }}{3}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(y = \sin 3x.\cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\)

Hàm số \(y = \sin 4x\) tuần hoàn với chu kì \({T_1} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\)

Hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \)

Vậy hàm số \(y = \frac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = BCNN\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) = \pi \)

Ta có: \(y = {\sin ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1\)

\(= {\sin ^4}x - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 1\)

\(= {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x - 1 \\= {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2\)

\(\begin{array}{l} 0 \le {\sin ^2}x \le 1\\ \Rightarrow 1 \le {\sin ^2}x + 1 \le 2\\ \Rightarrow 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} \le 4\\ \Rightarrow - 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2 \le 2 \end{array}\)

\(\Rightarrow - 1 \le y \le 2\)

Hàm số \(y = \left| x \right|\sin x\) có:

\(\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right|\sin \left( { - x} \right)\\ = - \left| x \right|\sin x = - y\left( x \right)\end{array}\)

Nên là hàm số lẻ.

Do đó đồ thị hàm số nhận gốc O làm tâm đối xứng.

Ta có:

\(\sin x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: 

\(\tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \sqrt 3\\ \Leftrightarrow \tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \tan {60^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow 3x - {15^ \circ } = {60^ \circ } + k{180^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow x = {25^ \circ } + k{60^ \circ }\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: 

\(\tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \sqrt 3\\ \Leftrightarrow \tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \tan {60^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow 3x - {15^ \circ } = {60^ \circ } + k{180^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow x = {25^ \circ } + k{60^ \circ }\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có:

\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos 4x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{4}\\x \ne k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\tan 4x.\cot 2x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan 4x = \frac{1}{{\cot 2x}}\\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan 2x\\ \Leftrightarrow 4x = 2x + k\pi \\ \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {loai} \right) \end{array}\)

Do đó phương trình vô nghiệm.

Số có 1 chữ số nên có \(C_3^1 = 3\) cách chọn.

Số có 2 chữ số nên có \(P_3^2 = 6\) cách chọn.

Số có 3 chữ số nên có 3! cách chọn.

Số cách lập là: 3 + 6 + 3! = 15.

Ta có

\(\begin{array}{l}C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \dfrac{{7n}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}} = \dfrac{{7n}}{2}\\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = \dfrac{{7n}}{2}\\ \Leftrightarrow 2 + n - 1 + \dfrac{{{n^2} - 3n + 2}}{3} = 7\\ \Leftrightarrow {n^2} = 16\\ \Leftrightarrow n = 4(n > 0)\end{array}\)

Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng dọc thì có 3! cách xếp bạn nam và 3! cách xếp bạn nữ.

Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng dọc thì có 3! cách xếp bạn nữ và 3! cách xếp bạn nam.

Khi đó số cách xếp là: 2.(3!)² = 72 (cách xếp)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^{12}}\\ = C_{12}^0.{x^{12}} + C_{12}^1.{x^{11}}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^1} \\+ ... + C_{12}^6.{x^6}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^6} + ... + C_{12}^{12}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^{12}}\\ = C_{12}^0.{x^{12}} + C_{12}^1.{x^{10}}\left( { - 2} \right) \\+ ... + C_{12}^6.{\left( { - 2} \right)^6} + ... + C_{12}^{12}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^{12}}\end{array}\)

Số hạng không chứa x là: \(C_{12}^6{\left( { - 2} \right)^6} = 59136\)

Số cách chọn trong đó có 2 nữ là: \(C_6^2.C_7^2\)

Số cách chọn trong đó có 3 nữ là: \(C_6^3.C_7^1\)

Số cách chọn trong đó có 4 nữ là: \(C_6^4\)

Vậy số cách cần chọn là: \((C_7^2.C_6^2) + (C_7^1.C_6^3) + C_6^4\)

Ta có 

\({\left( {a - 2b} \right)^8} = C_8^0.{a^8} + C_8^1.{a^7}.\left( { - 2b} \right) + ... + C_8^8.{\left( { - 2b} \right)^8}\)

Hệ số của số hạng chứa a⁴.b⁴ là \(C_8^4{\left( { - 2} \right)^4} = 1120\)

Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{16}^3 = 560\)

Gọi A là: “lấy được 3 viên bi đỏ”. Khi đó \(n\left( A \right) = C_3^3 = 1\)

Suy ra \(P\left( A \right) = \dfrac{1}{{560}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}3A_n^2 - A_{2n}^2 + 42 = 0\\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \dfrac{{\left( {2n} \right)!}}{{\left( {2n - 2} \right)!}} + 42 = 0\\ \Leftrightarrow 3.n\left( {n - 1} \right) - 2n\left( {2n - 1} \right) + 42 = 0\\ \Leftrightarrow - {n^2} - n + 42 = 0\\ \Leftrightarrow n = 6(n > 0)\end{array}\)

Đa giác đều có 12 cạnh nên ta có 12 đỉnh.

Một đường chéo được tạo ra từ 2 đỉnh không liền kề. Số đường chéo được tạo ra là:

\(C_{12}^1.C_9^1 = 108.\)

Mà số cạnh được lặp lại 2 lần nên ta có số đường chéo là 108 : 2 = 54.

 Ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {x + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)^6}\\ = C_6^0.{x^6} + C_6^1.{x^5}.\left( {\dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right) + C_6^2.{x^4}.{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2}+ ... + C_6^6.{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)^6}\\ = C_6^0.{x^6} + C_6^1.{x^{\dfrac{9}{2}}}.2 + C_6^2.{x^3}{.2^2} + ... + C_6^6.{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)^6}\end{array}\)

Hệ số của x3 là \(C_6^2{.2^2} = 60\)

Số cách sắp xếp của A, F: 2! = 2

Số cách sắp xếp B, C, D, E: 4! = 24

Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2.24 = 48

Chọn 3 số khác nhau từng đôi một sao cho tổng 3 số đã chọn có tổng bằng 8: (1; 2; 5); (1; 3; 4).

Giả sử 6 chữ số cần tìm dạng \(\overline {abcdef} \)

TH1: (1; 2; 5)

Ở 3 vị trí c, d, e ta có 3! cách

Ba vị trí còn lại ta chọn 3 trong 6 số còn lại, sắp theo thứ tự: cách

Suy ra TH1 có 120.3! = 720 cách

Tương tự TH2 cũng có 720 cách

Vậy có 720 + 720 = 1440 cách chọn.

Ta có:

\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AB} }}\left( D \right) = C\)

\(A' = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 2 + 1 = - 1\\y' = 3 + 0 = 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow A'\left( { - 1;3} \right)\)

Lấy M(x;y) bất kì thuộc \(\Delta \).

\(M' = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + 1\\y' = y - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - 1\\y = y' + 1\end{array} \right.\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' - 1\\y = y' + 1\end{array} \right.\) vào phương trình \(\Delta \) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {x' - 1} \right) + 2\left( {y' + 1} \right) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x' + 2y' = 0\\ \Rightarrow M' \in \Delta ':x + 2y = 0\end{array}\)

Đáp án A sai vì hai véc tơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {A'M'} \) chưa chắc cùng hướng, chúng chỉ có cùng độ dài.

\(A' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - y = - 2\\y' = x = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2;1} \right)\)

(C ) có tâm \(J\left( {1;2} \right)\) và bán kính R = 2.

Gọi \(J' = {V_{\left( {I;3} \right)}}\left( J \right) \Rightarrow \overrightarrow {IJ'} = 3\overrightarrow {IJ} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 2 = 3\left( {1 - 2} \right)\\y' + 2 = 3\left( {2 + 2} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 1\\y' = 10\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( { - 1;10} \right)\end{array}\)

Đường tròn (C’) có tâm \(J'\left( { - 1;10} \right)\) bán kính R' = 3R = 3.2 = 6

Vậy \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 36.\)

\({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M'\\\Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)

Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành đường tròn (C') có bán kính \(R' = \left| k \right|.R\) nên C sai.

Phép quay tâm \(I\left( {1;2} \right)\), góc \(- {180^0}\) là phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\).

Dễ thấy \(I\left( {1;2} \right) \notin d\) nên qua phép đối xứng tâm, d biến thành d'' // d.

Qua phép tính tiến theo \(\overrightarrow v \) thì d'' biến thành d' // d''.

Do đó d' // d'' // d nên trong các đáp án chỉ có A thỏa mãn.

Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó nên D sai.

Phép đồng dạng chưa chắc biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên loại B, C.

Phép dời hình thì có phép quay không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên loại D.

Xét trong (SAC) ta gọi \(I = AM \cap SO,SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow AM \cap \left( {SBD} \right) = I\)

Gọi E là trung điểm của AD ta có \(G \in CE\) và \(\dfrac{{CG}}{{CE}} = \dfrac{2}{3}\)

Vì \(CM = 2MB \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{2}{3}\)

Xét tam giác BCE có: \(\dfrac{{CG}}{{CE}} = \dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MG // BE\) (Định lí Ta – let đảo)

Mà \(BE \subset \left( {ABD} \right) \Rightarrow MG // (ABD)\)

Vì \(S \in \left( {SAD} \right)\) và \(S \in \left( {SBC} \right)\) nên \(S \in d\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD//BC\\d = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d//AD//BC\)

+ ) A sai .Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng nên không có điểm chung.

+) C sai. Hai đường thẳng song song với nhau thì đồng phẳng nên không chéo nhau.

+) D sai. Hai đường thẳng song song nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì không chéo nhau.