\(\begin{array}{*{20}{l}} {M = 14 - 23 + \left( {5 - 14} \right) - \left( {5 - 23} \right) + 17}\\ { = 14 - 23 + 5 - 14 - 5 + 23 + 17}\\ { = \left( {14 - 14} \right) - \left( {23 - 23} \right) + \left( {5 - 5} \right) + 17}\\ { = 0 - 0 + 0 + 17}\\ { = 17} \end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}} {N = 24 - \left( {72 - 13 + 24} \right) - \left( {72 - 13} \right)}\\ { = 24 - 72 + 13 - 24 - 72 + 13}\\ { = \left( {24 - 24} \right) - \left( {72 + 72} \right) + \left( {13 + 13} \right)}\\ { = 0 - 144 + 26}\\ { = - 118} \end{array}\)

Do đó M>N

 \(\begin{array}{*{20}{l}} {18 - \left( {9 - 11 + 35} \right) + \left( {35 - 11 + 9} \right)}\\ { = 18 - 9 + 11 - 35 + 35 - 11 + 9}\\ { = 18 - (9 - 9) - (35 - 35) - (11 - 11)}\\ { = 18 - 0 - 0 - 0}\\ { = 18} \end{array}\)

 \(\begin{array}{*{20}{l}} {5 - \left( {4 - 7 + 12} \right) + \left( {4 - 7 + 12} \right)}\\ { = 5 - 4 + 7 - 12 + 4 - 7 + 12}\\ { = 5 - 4 + 4 + 7 - 7 - 12 + 12}\\ { = 5 - \left( {4 - 4} \right) + \left( {7 - 7} \right) - \left( {12 - 12} \right)}\\ { = 5 - 0 + 0 - 0}\\ { = 5} \end{array}\)

 \(\begin{array}{*{20}{l}} {\left( { - 1889 - 91} \right) - \left( { - 889 + 91} \right) + 182}\\ { = - 1889 - 91 + 889 - 91 + 182}\\ { = - (1889 - 889) - (91 + 91) + 182}\\ { = - 1000 - 182 + 182}\\ { = - 1000} \end{array}\)

237 . (-26) + 26 . 137

= 26 . (-237 + 137)

= 26 . (-100) = -2600

(-57) . (67 - 34) - 67 . (34 - 57)

= (-57) . 33 - 67 . (-23)

= -1881 + 1541

= -340

(37 - 17) . (-5) + 23 . (-13 - 17)

= 20 . (-5) + 23 . (-30)

= (-100)+( - 690) = -790

4 . 7 . (-11) . (-2)

= [4 . 7 . (-2)] . (-11)

= [28. (-2)] . (-11)

= (-56) . (-11) = 616.

Ta có \(A = \dfrac{{n - 5}}{{n + 1}} = \dfrac{{n + 1 - 6}}{{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 1}} - \dfrac{6}{{n + 1}} = 1 - \dfrac{6}{{n + 1}}\)

Để A có giá trị nguyên thì \(6\, \vdots \,\left( {n + 1} \right) \Rightarrow \left( {n + 1} \right) \in Ư\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6} \right\}\)

Vậy ta có 8 giá trị n để A có giá trị nguyên

Với a,b∈Z và \(b \ne 0\). Nếu có số nguyên q sao cho b = aq thì a là ước của b và b là bội của a

Bội của 7 là số 0 và những số nguyên có dạng 7k(k∈Z∗)

Các bội của 7 là: 0;7;−7;14;−14;...

Ta có: - 10= - 1.10=1.(−10)= - 2.5=2.(−5)

Tập hợp các ước của - 10 là: A={1;−1;2;−2;5;−5;10;−10}

\({{23} \over {72}}\)

\({{ - 19} \over {24}} = {{ - 19.3} \over {24.3}} = {{ - 57} \over {72}}\)

\({{20} \over {45}} = {{20:5} \over {45:5}} = {4 \over 9}\)

\({{ - 21} \over {27}} = {{ - 21:3} \over {27:3}} = {{ - 7} \over 9}\)

\({{ - 3} \over 5} = {{ - 3.11} \over {5.11}} = {{ - 33} \over {55}}\)

\({{ - 7} \over {11}} = {{ - 7.5} \over {11.5}} = {{ - 35} \over {55}}\)

\({{11} \over {18}}\)

\(- 2 = {{ - 2} \over 1} = {{ - 2.18} \over {18}} = {{ - 36} \over {18}}\)

\({{27} \over {13}} > {{26} \over {13}} = 2,2 = {{2018} \over {1009}} > {{2014} \over {1009}}\) 

Nên \({{27} \over {13}} > {{2014} \over {1009}}.\)

Ta có: \({3 \over { - 4}} = {{ - 3} \over 4} > {{ - 4} \over 4} =  - 1, - 1 = {{ - 5} \over 5} > {{ - 6} \over 5}\) 

Nên \({3 \over { - 4}} > {{ - 6} \over 5}.\)

Ta có: \({{ - 1} \over { - 2}} = {1 \over 2};{{ - 2014} \over {2015}} < 0,0 < {1 \over 2}\)  

Nên \({{ - 2014} \over {2015}} > {{ - 1} \over { - 2}}.\)

\({7 \over 8} < {8 \over 8} = 1;1 = {{13} \over {13}} < {{14} \over {13}}.\)  

Nên \({7 \over 8} < {{14} \over {13}}\)

 \(\dfrac{1}{{42}} + \dfrac{1}{{30}} = \dfrac{5}{{210}} + \dfrac{7}{{210}} = \dfrac{{12}}{{210}} = \dfrac{2}{{35}}\)

 \(\dfrac{6}{{25}} + \dfrac{3}{{ - 5}} = \dfrac{6}{{25}} + \dfrac{{ - 15}}{{25}} = \dfrac{{ - 9}}{{25}}\)

 \(\dfrac{3}{{11}} + \dfrac{1}{{33}} = \dfrac{9}{{33}} + \dfrac{1}{{33}} = \dfrac{{10}}{{33}}\)

\(\dfrac{{ - 7}}{6} + \dfrac{{17}}{{72}} = \dfrac{{ - 84}}{{72}} + \dfrac{{17}}{{72}} = \dfrac{{ - 67}}{{72}}\)

\(\eqalign{  & \left( {{{11} \over {12}} + {{11} \over {12.23}} + {{11} \over {23.34}} + ... + {{11} \over {89.100}}} \right) + x = {5 \over 3}  \cr  & {{11} \over {12}} + {{23 - 12} \over {12.23}} + {{34 - 23} \over {34.23}} + ... + {{100 - 89} \over {89.100}} + x = {5 \over 3}  \cr  & {{11} \over {12}} + {1 \over {12}} - {1 \over {23}} + {1 \over {23}} - {1 \over {34}} + ... + {1 \over {89}} - {1 \over {100}} + x = {5 \over 3}  \cr  & {{11} \over {12}} + {1 \over {12}} - {1 \over {100}} + x = {5 \over 3} \Leftrightarrow 1 - {1 \over {100}} + x = {5 \over 3}  \cr  & {{99} \over {100}} + x = {5 \over 3} \Leftrightarrow x = {5 \over 3} - {{99} \over {100}} \Leftrightarrow x = {{500} \over {300}} - {{297} \over {300}} \Leftrightarrow x = {{203} \over {300}}. \cr} \)

Sử dụng kiến thức về trung điểm đoạn thẳng: “M là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Leftrightarrow {\rm{AM = BM = }}\dfrac{1}{2}AB\)” để tính toán.

Vì N là trung điểm đoạn AM nên \(AN = \dfrac{1}{2}AM\) hay AM = 2AN = 2.3 = 6cm

Lại có điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB nên ta có: \(AM = \dfrac{1}{2}AB\) hay AB = 2AM = 2.6 = 12cm

Vậy AB = 12cm.

Chọn C

Sử dụng kiến thức về trung điểm đoạn thẳng: “M là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Leftrightarrow {\rm{AM = BM = }}\dfrac{1}{2}AB\)” để tính toán.

Vì điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB nên \(AI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}. 20 = 10cm\)

Vì điểm K là trung điểm đoạn thẳng AI nên \(AK = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{1}{2}. 10 = 5cm\)​.

Vậy AI = 5cm.

Chọn B

Sử dụng kiến thức về điểm nằm giữa hai điểm và trung điểm của đoạn thẳng: “Nếu M nằm giữa A và B đồng thời MA = MB thì M là trung điểm của AB.”

Vì điểm B thuộc tia AM mà AM

Do đó AM + MB = AB⇒MB=AB−AM=18−9=9cm. Suy ra AM = MB = 9cm (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của đoạn AB.

Vậy B sai.

Dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng.

“M là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Leftrightarrow {\rm{AM = BM = }}\dfrac{1}{2}AB\)​”

Vì H là trung điểm của đoạn thẳng MN nên \(HN = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2} \cdot 7 = 3,5\,cm\).

Vì K là trung điểm của đoạn thẳng NP nên \({\rm{NK}} = \dfrac{1}{2}NP = \dfrac{1}{2} \cdot 11 = 5,5\,cm\)

Ta có: N nằm giữa hai điểm M và P nên NM và NP là hai tia đối nhau (1)

Vì H là trung điểm của MN nên HH thuộc NM (2)

Vì K là trung điểm của NP nên KK thuộc NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: N là điểm nằm giữa hai điểm H và K.

⇒HN+NK=HK ⇒3,5+5,5=HK⇒HK=9cm.

Chọn A

Sử dụng công thức cộng đoạn thẳng để tính độ dài các đoạn thẳng.

Vì hai điểm M; N cùng thuộc tia Ox mà OM

Do đó OM+MN=ON⇒MN=ON−OM = 8 - 4 = 4cm

Vì hai tia NP và NO đối nhau mà M nằm giữa hai điểm O và N nên N là điểm nằm giữa M và P.

Do đó MN + NP = MP hay MP = 4 + 4 = 8cm

Vậy MN=4cm; MP=8cm.

Chọn B

+ Vì \(\left\{ \begin{array}{l}A,B \in Ox\\OA < OB\left( {4cm<8cm} \right)\end{array} \right.\) ⇒ A nằm giữa O và B.

⇒OA+AB=OB⇒AB=OB−OA=8−4=4cm.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}C,B \in Ox\\OC < OB\left( {6cm < 8cm} \right)\end{array} \right. \)​⇒ C nằm giữa O và B.

⇒OC+BC=OB⇒BC=OB−OC=8−6=2cm.

+ Vì \(\left\{ \begin{array}{l}A,C \in Ox\\OA  ⇒ A nằm giữa O và C.

⇒OA+AC=OC⇒AC=OC−OA=6−4=2cm.

Vì O và B nằm khác phía với C mà O với A nằm cùng phía với C nên B với A nằm khác phía với C. Hay C nằm giữa A và B.

Lại có AC = BC = 2cm nên C là trung điểm của AB.

Vì điểm I nằm giữa hai điểm A và B nên:
⇒AI+IB=AB⇒4cm+IB=14cm⇒IB=14cm−4cm=10cm
Vì AI = OB = 4cm; N là trung điểm của đoạn thẳng OB nên: ON = NB = OB:2 = 4cm:2 = 2cm
Vì điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AI nên:
\(AM = MI = \dfrac{{AI}}{2} = \dfrac{{4cm}}{2} = 2cm\)
Ta có điểm M, N nằm giữa hai điểm A, B nên:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AM + MN + NB = AB\\ \Rightarrow \,2cm + MN + 2cm\, = 14cm\\ \Rightarrow MN = 14cm - 2cm - 2cm\\ \Rightarrow MN = 10cm\end{array}\)​

 

Vì AP = 2PQ = 2QB nên \(PQ = QB = \dfrac{{AP}}{2}\)​ (1)
Điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AP nên:
\(AE = EP = \dfrac{{AP}}{2}\)​ (2)
Từ (1) và (2) ⇒AE=EP=PQ=QB
Mặt khác vì E,P,Q đều thuộc đoạn thẳng AB nên: AE + EP + PQ + QB = AB
\(\Rightarrow \;AE = \dfrac{{AB}}{4} = \dfrac{{20}}{4} = 5(cm)\)
Vì QB = AE = 5cm mà điểm I là trung điểm của đoạn thẳng BQ nên: \(IB = IQ = \dfrac{{BQ}}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5cm\)
Vì E, I đều thuộc đoạn thẳng AB nên:
\(\begin{array}{l}AE + EI + IB = AB\\ \Rightarrow 5cm + EB + 2,5cm = 20cm\\ \Rightarrow EB = 20cm - 5cm - 2,5cm = 12,5cm\end{array}\)

 

Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi M nằm giữa A và B, đồng thời MA=MB.

+ Trên tia Ox có OA

Ta có OA + AB = OB suy ra AB = OB - OA = 5 - 3 = 2cm

Từ đó OA>AB(3cm>2cm) nên A không phải trung điểm đoạn AB

+ Trên tia Ox có OB

Ta có OB + BC = OC suy ra BC = OC - OB = 7 - 5 = 2cm

Vậy AB = BC = 2cm (1)

+ Vì O và A nằm cùng phía với B mà O và C lại nằm khác phía với B nên A và C nằm khác phía với B hay B nằm giữa A và C (2)

Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm đoạn AC.

Trên tia Ox có OA

Suy ra OA+AB=OB⇒AB=OB−OA=b−a

Vì M là trung điểm của AB nên BM = \(\dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{b - a}}{2}\)

Ta có \(\dfrac{{b - a}}{2} <\dfrac{b}{2} < b\)

Trên tia BO có BM\(\dfrac{{b - a}}{2} ) nên điểm M nằm giữa hai điểm B và O.

Suy ra BM + MO = BO

Do đó \(OM = OB - BM = b - \dfrac{{b - a}}{2} = \dfrac{{2b - \left( {b - a} \right)}}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}\)​

Vậy \(OM = \dfrac{{a + b}}{2}\)

Ta có góc nhỏ hơn góc vuông là góc nhọn; Góc lớn hơn góc vuông nhưng nhỏ hơn góc bẹt là góc tù nên A đúng, B sai, C đúng.

Số đo của góc bẹt là 180^o mà số đo của mỗi góc không vượt quá 80^o nên góc bẹt là góc có số đo lớn nhất. Do đó D đúng.

Chọn B

Sử dụng: Góc có số đo lớn hơn {0^o} và nhỏ hơn {90^o} là góc nhọn.

Ta có: góc có số đo lớn hơn \({0^o}\) và nhỏ hơn \({90^o}\) là góc nhọn nên các góc có số đo \({35^0};{60^0};{45^0};{89^0}\) là các góc nhọn. Vậy có bốn góc nhọn.

Chọn A

Sử dụng:

Nếu có n(n≥2) tia chung gốc (không có tia nào trùng nhau) thì số lượng góc tạo thành là 2n(n−1)​.

Số góc tạo thành là 27.(7−1)​=21 góc.

Chọn A

Áp dụng cách đọc góc, phân biệt được đỉnh và cạnh của góc.

Góc trên hình là góc \(\widehat {BAC}\), đỉnh A, cạnh AB và AC.

Chọn C

Xác định các tia chung gốc A, từ đó xác định các góc có một cạnh là AB.

Các góc cần tìm là \(\widehat {BAC};\widehat {BAE};\widehat {BAD}\)

Chọn D