Số cách chọn 3 bạn bất kì là: \(C_{50}^3\) cách.

Số cách chọn 3 bạn nữ là; \(C_{20}^3\) cách.

Vậy số cách chọn 3 bạn trong đó có ít nhất 1 bạn nam là: \(C_{50}^3 - C_{20}^3\) cách.

Chọn B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - 1 \le \sin 2x \le 1\\ \Leftrightarrow  - 3 \le 3\sin 2x \le 3\\ \Leftrightarrow  - 5 \le 3\sin 2x - 2 \le 1\\ \Leftrightarrow  - 5 \le y \le 1\end{array}\)

Vậy GTNN của hàm số bằng \( - 5\).

Chọn D.

Ta có: \({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} .\)

Chọn B.

Ta có: \(\cos x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \dfrac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn A.

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = {V_{\left( {O; - \dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OM'}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - {x_O} =  - \dfrac{1}{2}\left( {{x_M} - {x_O}} \right)\\y' - {y_O} =  - \dfrac{1}{2}\left( {{y_M} - {y_O}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - \dfrac{1}{2}.\left( { - 1} \right)\\y' =  - \dfrac{1}{2}.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = \dfrac{1}{2}\\y' =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(M'\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Chọn C.

Hàm số \(y = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\) xác định \( \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi \).

Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn C.

Ta có: \({\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

Cho \( - \pi  < x < 0 \Leftrightarrow  - \pi  < \dfrac{\pi }{2} + k\pi  < 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{2} < k <  - \dfrac{1}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \pi  + k2\pi \).

Cho \( - \pi  < \pi  + k2\pi  < 0 \Leftrightarrow  - 1 < k <  - \dfrac{1}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \emptyset \).

Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm thỏa mãn là \(x =  - \dfrac{\pi }{2}\).

Chọn C.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x =  - \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in } \right)\end{array}\).

Chọn A.

Xét \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) có:

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\) ta có \(M = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\M \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SM\).

Chọn A.

Ta có: \({T_{\overrightarrow u }}\left( M \right) = M' \Rightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 1 + \left( { - 3} \right) =  - 2\\{y_{M'}} =  - 2 + \left( { - 3} \right) =  - 5\end{array} \right.\).

Vậy \(M'\left( { - 2; - 5} \right)\).

Chọn D.

Số cách chọn 1 quyển sách Toán là 7 cách.

Số cách chọn 1 quyển sách Vật lí là 5 cách.

Số cách chọn 1 quyển sách Hóa là 8 cách.

Áp dụng quy tắc cộng: Số cách chọn 1 quyển sách bất kì là: \(7 + 5 + 8 = 20\) cách.

Chọn C.

Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 5, 6 ta lập được \(A_5^3 = 60\) số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Tổng các chữ số 1, 2, 3, 5, 6 là: \(1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17\).

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số lập được là \(\overline {abc} \).

- Trong 60 số lập được ở trên, số lần xuất hiện của mỗi số 1, 2, 3, 5, 6 ở mỗi vị trí  \(a,\,\,b,\,\,c\) là \(A_4^2 = 12\) lần.

Chẳng hạn, số lần xuất hiện số 1 ở vị trí \(a\) bằng số cách chọn \(\overline {bc}\) từ 4 số \(2,3,5,6\) và bằng \(A_4^2 = 12\) lần, tương tự  số 1 xuất hiện ở vị trí \(b\) \(A_4^2 = 12\) lần, ở vị trí \(c\) là \(A_4^2 = 12\) lần. 

Vậy tổng của 60 số lập được là: \(12.(1+2+3+5+6).\left( {{{10}^2} + {{10}^1} + {{10}^0}} \right) = 22644\).

Chọn A.

\(2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 3  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \).

\(\sin x - \sqrt 3 \cos x =  - \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} - \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \).

Để chọn được 5 học sinh tham gia văn nghệ trong đó có ít nhất 3 học sinh nữ ta có các TH sau:

TH1: 3 học sinh nữ, 2 học sinh nam \( \Rightarrow \) Có \(C_{15}^3.C_{20}^2 = 86450\).

TH2: 4 học sinh nữ, 1 học sinh nam \( \Rightarrow \) Có \(C_{15}^4.C_{20}^1 = 27300\).

TH3: 5 học sinh nữ \( \Rightarrow \) Có \(C_{15}^5 = 3003\).

Vậy có tất cả \(86450 + 27300 + 3003 = 116753\) cách.

Vì \({T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d' \Rightarrow d'//d\), do đó phương trình đường thẳng \(d'\) có dạng: \(d':\,\,x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne  - 3} \right)\).

Lấy \(A\left( {3;0} \right) \in d\). Gọi \(A' = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)\), khi đó ta có \(A'\left( {5; - 1} \right)\).

Vì \({T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d',\,\,A' = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) \Rightarrow A' \in d'\).

Suy ra \(5 + \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c + 4 = 0 \Leftrightarrow c =  - 4\,\,\left( {TM} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) là: \(x + y - 4 = 0\).

Xét đáp án A:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\) \( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = 1 + \tan \left( { - x} \right) = 1 - \tan x \ne f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \tan x\) là hàm không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án B:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \cos \left( { - 3x} \right) = {x^2} + \cos \left( {3x} \right) = f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \cos \left( {3x} \right)\) là hàm chẵn.

Chọn B.

Xét đáp án B:

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow 1 \le 2 - \cos x \le 3\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó \(2 - \cos x \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}}\) có TXĐ là \(\mathbb{R}\).

Chọn B.

TH1: \(a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1\), khi đó phương trình trở thành \(0.\cos x = 1\) (Vô nghiệm).

TH2: \(a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 1\), khi đó ta có \(\cos x = \dfrac{1}{{a - 1}}\,\,\left( {a \ne 1} \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow  - 1 \le \dfrac{1}{{a - 1}} \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{a - 1}} \ge  - 1\\\dfrac{1}{{a - 1}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 + a - 1}}{{a - 1}} \ge 0\\\dfrac{{1 - a + 1}}{{a - 1}} \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{{a - 1}} \ge 0\\\dfrac{{2 - a}}{{a - 1}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a \le 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm\,\,a \ne 1} \right)\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le 0\end{array} \right.\).

Chọn B.

Trong (ABCD) gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(M = SO \cap AI\) ta có

\(M \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow M \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow M = AI \cap \left( {SBD} \right)\) với \(O = AC \cap BD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M = SO \cap AI\).

Chọn B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Ta có: \(\tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 Xét \(x > 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi  > 0 \Leftrightarrow k > \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow \) Số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là \({k_{\min }} = 1\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + \pi  = \dfrac{{3\pi }}{4}\).

Chọn C.

Đồ thị hàm số \(y = \cot x\):

\( \Rightarrow \) Hàm số  nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) là khẳng định đúng.

Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) là mệnh đề ĐÚNG.

Đồ thị hàm số \(y = \cos x\):

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y =  - \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Do đó mệnh đề C sai.

Chọn C.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sin 2x - \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Ta có: \(2{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{1}{2}\\\cos x =  - 1\end{array} \right.\).

Vì \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos x > 0\), do đó \(\cos x = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 1 =  - \dfrac{1}{2}\).

Chọn A.

Đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\)có tâm I(1;-2); bán kinh R=3.

Gọi I’ là tâm đường tròn (C’).

Phép tịnh tiến điểm I thành điểm I’ theo véc-tơ \(\vec v\left( {3;3} \right)\)thì \(\overrightarrow {II'} {\rm{\;}} = \vec v\)

Suy ra \(I'\left( {4;1} \right)\)

Đường tròn (C’) có tâm là \(I'\left( {4;1} \right)\); R=3 nên có dạng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\)

Chọn A.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x.\cos x.\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x = 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4}\sin 4x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Xét mệnh đề (1): Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) như sau:

Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

Đồ thị hàm số \(y = \cos x\):

Hai hàm số này cùng đồng biến trên \(\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\). Do đó mệnh đề (1) đúng.

Xét mệnh đề (2): Phương trình hoành độ giao điểm: \(2019\sin x + 10\cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{{10}}{{2019}}\).

Do đó phương trình này có vô số nghiệm, nên mệnh đề (2) đúng.

Xét mệnh đề (3): Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\tan x}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) .

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

\(0 < \dfrac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{3}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\).

+ Xét họ nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

\(0 <  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{5}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) có 2 điểm chung, do đó mệnh đề (3) sai.

Xét mệnh đề (4):

Ta có: \(\tan \left( {\pi  - x} \right) =  - \tan x,\,\,\cot \left( {\pi  - x} \right) =  - \cot x,\,\,\sin \left( {\pi  - x} \right) = \sin x\).

Trên khoảng \(\left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x > 0 \Leftrightarrow  - \tan x < 0\\\cot x > 0 \Leftrightarrow  - \cot x < 0\\\sin x < 0\end{array} \right.\).

Do đó mệnh đề (4) đúng.

Vậy có 1 mệnh đề sai.

Chọn D.

Hàm số \(y = \tan \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \dfrac{\pi }{{\dfrac{1}{2}}} = 2\pi \).

Chọn A.

Xét \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có:

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(M = AB \cap CD \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in AB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right)}\\{M \in CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow M \in \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) \Rightarrow M\)  là điểm chung thứ hai.

Vậy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SM\).

Chọn C.

Phương trình \(2\sin 2x + \left( {m - 1} \right)\cos 2x = m + 1\) có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{2^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} \ge {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4 + {m^2} - 2m + 1 \ge {m^2} + 2m + 1\\ \Leftrightarrow 4m \le 4 \Leftrightarrow m \le 1\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right] \Rightarrow m \in \left[ { - 2019;1} \right]\).

Vậy có 2021 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Hàm số \(y = \dfrac{{\cot \left( {2x} \right)}}{{\cos \left( {2x} \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow 4x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{4}\).

Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{4};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 3\sin x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x =  - 4\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có: \(\tan 3x = \tan (\dfrac{\pi }{3} - 2x) \)\(\Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{3} - 2x + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{15}} + k\dfrac{\pi }{5}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \(\dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = m \)

\(\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = m\left( {2\cos x - \sin x + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)\cos x - \left( {m + 2} \right)\sin x = 3 - 4m\)

Điều kiện có nghiệm: \({\left( {2m - 1} \right)^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 4m} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 + {m^2} + 4m + 4\)\( \ge 9 - 24m + 16{m^2}\)

\( \Leftrightarrow 11{m^2} - 24m + 4 \le 0 \)\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le m \le 2.\)

Chọn đáp án D.

Ta có:\(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4} \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = \pi  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \(2{\sin ^2}x + 5\sin x - 3 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nghiệm dương bé nhất của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{6}.\)

Chọn đáp án C.

\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 5} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Gọi \(I' = {Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( I \right)\) thì \(I'\) đối xứng với \(I\) qua \(O\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} =  - {x_I} =  - 2\\{y_{I'}} =  - {y_I} = 5\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( { - 2;5} \right)\)

Vậy \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 5\)

Đáp án B

\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

\(\begin{array}{l}I' = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) \Rightarrow \overrightarrow {II'}  = \overrightarrow v \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} + 3 = 3 + 3 = 6\\{y_{I'}} = {y_I} - 2 =  - 2 - 2 =  - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow I'\left( {6; - 4} \right)\end{array}\)

Vậy \(\left( {C'} \right):{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 9\)

Đáp án C

Sử dụng chú ý a trang 21 SGK hình học 11:

Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

Vậy cả 3 mệnh đề đều đúng.

Đáp án A