Xét mệnh đề (1): Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) như sau:

Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

 

Đồ thị hàm số \(y = \cos x\):

 

Hai hàm số này cùng đồng biến trên \(\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\). Do đó mệnh đề (1) đúng.

Xét mệnh đề (2): Phương trình hoành độ giao điểm: \(2019\sin x + 10\cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{{10}}{{2019}}\).

Do đó phương trình này có vô số nghiệm, nên mệnh đề (2) đúng.

Xét mệnh đề (3): Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\tan x}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) .

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

\(0 < \dfrac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{3}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\).

+ Xét họ nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

\(0 <  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{5}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) có 2 điểm chung, do đó mệnh đề (3) sai.

Xét mệnh đề (4):

Ta có: \(\tan \left( {\pi  - x} \right) =  - \tan x,\,\,\cot \left( {\pi  - x} \right) =  - \cot x,\,\,\sin \left( {\pi  - x} \right) = \sin x\).

Trên khoảng \(\left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x > 0 \Leftrightarrow  - \tan x < 0\\\cot x > 0 \Leftrightarrow  - \cot x < 0\\\sin x < 0\end{array} \right.\).

Do đó mệnh đề (4) đúng.

Vậy có 1 mệnh đề sai.

Chọn D.