Ta có:

\(\left( {m + 1} \right)\sin x - 2m\cos x + 2m - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\sin x - 2m\cos x = 1 - 2m\)

Điều kiện vô nghiệm: \({\left( {m + 1} \right)^2} + 4{m^2} < {\left( {1 - 2m} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow {m^2} + 6m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - 6;0} \right)\)

Có 5 giá trị của m: -5;-4;-3;-2;-1

Tổng các giá trị là : -15

+ Với \(m = - \dfrac{1}{2}\) ta có: \(0\cos x = \dfrac{3}{2} \to\) Phương trình vô nghiệm

+ Với \(m \ne - \dfrac{1}{2}\)ta có: \(\left( {2m + 1} \right)\cos x + m - 1 = 0\Leftrightarrow \cos x = \dfrac{{1 - m}}{{2m + 1}}\)

Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - m}}{{2m + 1}} > 1\\\dfrac{{1 - m}}{{2m + 1}} < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{3m}}{{2m + 1}} < 0\\\dfrac{{2 + m}}{{2m + 1}} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{2} < m < 0\\ - 2 < m < - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m = - 1\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\cos 2x - \cos x - m = 0\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \cos x - m - 1 = 0\)

Đặt \(t = \cos x,\;t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Khi đó phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - m - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 = m\\ \Leftrightarrow {\rm{2}}\left( {{t^2} - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{{16}}} \right) - \dfrac{9}{8} = m\\ \Leftrightarrow 2{\left( {t - \dfrac{1}{4}} \right)^2} = m + \dfrac{9}{8}\end{array}\)

Ta có:

\( - 1 \le t \le 1 \Rightarrow - \dfrac{5}{4} \le t - \frac{1}{4} \le \dfrac{3}{4}\Rightarrow 0 \le {\left( {t - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{{25}}{{16}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \le 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{{25}}{8}\\ \Rightarrow 0 \le m + \dfrac{9}{8} \le \dfrac{{25}}{8}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{9}{8} \le m \le 2\end{array}\)

Ta có: \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {\cot x - \sqrt 3 } \right)\left( {3\cot x - \sqrt 3 } \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \sqrt 3 \\\cot x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\cos 3x - 4\cos 2x + 3\cos x - 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 3\cos x - 4\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + 3\cos x - 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 8{\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x\left( {{{\cos }}x - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 2\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Với

\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \in \left[ {0;14} \right] \) \(\Rightarrow k \in \left[ { - \dfrac{1}{2};3,956} \right] \) \(\Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)

ĐK: \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Tập xác định của hàm số \(y = 2016{\tan ^{2017}}2x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - \dfrac{1}{{x + 3}} + 3{\sin ^2}x\)

\(g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} \) \(\Rightarrow g\left( { - x} \right) = \sqrt {1 + x} \)

Cả hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) đều là hàm số không chẵn không lẻ

Ta có: \(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x + \sin x - \cos x = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + \sin x - \cos x = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \cos x\\\sin x - \cos x = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x - \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \({\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \cos 2x\)

\(\Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right) = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x - \sin x - \cos x} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(y = \sin 3x.\cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\)

Hàm số \(y = \sin 4x\) tuần hoàn với chu kì \({T_1} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\)

Hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi\)

Vậy hàm số \(y = \frac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = BCNN\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) = \pi\)

Ta có:

\(y = {\sin ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1 \) \(= {\sin ^4}x - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 1\)

\(= {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x - 1 \) \(= {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2\)

\(\begin{array}{l} 0 \le {\sin ^2}x \le 1\\ \Rightarrow 1 \le {\sin ^2}x + 1 \le 2\\ \Rightarrow 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} \le 4\\ \Rightarrow - 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2 \le 2 \end{array}\)

\(\Rightarrow - 1 \le y \le 2\)

Điều kiện xác định: \(1 - \cos 2017x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2017x \le 1 \) luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy TXĐ: D=R.

Chu kì của hàm số \(y = \cot 3x + \tan x\) là \(T = \pi\)

Hàm số \(y = \left| x \right|\sin x\) có:

\(\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right|\sin \left( { - x} \right)\\ = - \left| x \right|\sin x = - y\left( x \right)\end{array}\)

Nên là hàm số lẻ.

Do đó đồ thị hàm số nhận gốc O làm tâm đối xứng.

Ta có:

\(\sin x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \tan {60^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow 3x - {15^ \circ } = {60^ \circ } + k{180^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow x = {25^ \circ } + k{60^ \circ }\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Điều kiện: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \pm k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = 3\cot x + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\cot ^2}x - 3\cot x = 0\\ \Leftrightarrow \cot x\left( {\sqrt 3 \cot x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cot x = 0\\ \cot x = \sqrt 3 \end{array} \right. \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nghiệm âm lớn nhất là \(- \dfrac{\pi }{2}\)

Ta có: \(\sin x + \cos x - 1 = 2\sin x\cos x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x - \cos x} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x + \cos x = 0\\ 1 - \sin x - \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - \cos x\\ \sin x + \cos x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

Các nghiệm trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là \(\left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4};0;2\pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right\}\)

Ta có: \(\sin (x + {10^0}) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x + {10^0}) = \sin {30^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {10^ \circ } = {30^ \circ } + k{360^ \circ }\\x + {10^ \circ } = {150^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {20^ \circ } + k{360^ \circ }\\x = {140^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right.\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(- 1 \le m - 2 \le 1 \Leftrightarrow m \in \left[ {1;3} \right]\)

Ta có: \(\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\cot x = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)

Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có bán kính \(R' = \left| k \right|.R\) nên C sai.

Phép quay tâm \(I\left( {1;2} \right)\), góc \(- {180^0}\) là phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right).\)

Dễ thấy \(I\left( {1;2} \right) \notin d\) nên qua phép đối xứng tâm, d biến thành d''//d.

Qua phép tính tiến theo \(\overrightarrow v \) thì d'' biến thành d'//d''.

Do đó d'//d''//d nên trong các đáp án chỉ có A thỏa mãn.

Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó nên D sai.

Phép đồng dạng chưa chắc biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên loại B, C.

Phép dời hình thì có phép quay không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên loại D.

Theo định nghĩa phép tịnh tiến.

Ta có \({T_{\vec 0}}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow 0 , {T_{\vec 0}}(N) = N' \Leftrightarrow \overrightarrow {NN'} = \overrightarrow 0 \)

Gọi ảnh của điểm A qua \({T_{\overrightarrow v }}\) là \(A'(x';y')\).Ta có 

\({T_{\vec v}}(A) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \vec v \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' - 2 = 1}\\{y' - 5 = 2}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 3}\\{y' = 7}\end{array}} \right.\)

Vậy A'(3;7)

Ta có: 

\({T_{\vec v}}(M) = A \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = \vec v\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - {x_M} = 1}\\{5 - {y_M} = 2}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 2 - 1 = 1}\\{{y_M} = 5 - 2 = 3}\end{array}} \right. \)\(\Rightarrow M\left( {1;3} \right)\)

Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = x + 2}\\{y' = y - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' - x = 2}\\{y' - y = - 3}\end{array}} \right.} \right.\)\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = (2; - 3)\)