A đúng

B sai vì vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2 

C sai vì gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc π/2

D sai vì gia tốc và li độ luôn ngược pha.

Từ phương trình suy ra tốc độ góc \(\omega = 2{\rm{r}}a{\rm{d}}/s\)

Suy ra tần số của dao động là: \(f = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{2}{{2\pi }} = \frac{1}{\pi }\left( {Hz} \right)\)

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,01}}{4}} = 0,314s\)

Biên độ dao động của chất điểm là: A= 8/2 =4cm

Tần số góc ω =2πf = 10π rad/s

Khi t = 0, x = 0 và v > 0.

Do đó ta có: cosφ = 0, sinφ < 0

Vậy φ=−π/2

Phương trình dao động của chất điểm là: x = 4cos(10πt−π/2) (cm)

Ta có: A = 2,5 cm, T = 1,2 s

Thời điểm t = 0 quả cầu đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Sử dụng vòng tròn lượng giác:

Suy ra thời điểm quả cầu có li độ x = 1,25 cm = A/2 là:

\(\left[ \begin{array}{l} \varphi = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{T}{{12}} = \frac{{1,2}}{{12}} = 0,1s\\ \varphi = \frac{{5\pi }}{6} \Rightarrow t = \frac{{5T}}{{12}} = \frac{{5.1,2}}{{12}} = 0,5s \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} t = 3,5{\rm{s}}\\ \Rightarrow x = 2\cos \left( {\pi .3,5 - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 cm \end{array}\)

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{{{\rm{\Delta }}l}}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,04}}{{10}}} = 0,4{\rm{s}}\)

\({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k.{x^2} = \frac{1}{2}{.100.0,03^2} = 0,045J\)

Chu kì kì dao động của hệ lò xo và vật nặng m₁ là: 

\({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{{{m_1}}}{k}} \)

Chu kì dao động của hệ lò xo và vật nặng m₂ là:

\({T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{{{m_2}}}{k}} \)

Chu kì dao động của hệ lò xo và hai vật nặng (m₁+m₂) là:

\({T_{12}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{m_1} + {m_2}}}{k}} \)\( = \sqrt {T_1^2 + T_2^2} = 1s\)

\({\mkern 1mu} k = \frac{{2{\rm{W}}}}{{{A^2}}} = 160N/m\)

Ta có:

Số dao động vật thực hiện được trong thời gian t là:

\(t = nT \Leftrightarrow 60 = 30T \Leftrightarrow T = 2s\)

Ta có:

+ Độ cứng của lò xo: 

\(k = m{\omega ^2} = {0,1.20^2} = 40\)

+ Cơ năng:

\({\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}{.40.0,1^2} = 0,2J\)

+ Thế năng tại li độ x = 8cm:

\({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{{\rm{x}}^2} = \frac{1}{2}{.40.0,08^2} = 0,128J\)

+ Động năng của vật tại li độ x = 8cm là:

\({{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = 0,2 - 0,128 = 0,072J\)

Hiện tượng cộng hưởng cơ học xảy ra khi tần số dao động cưỡng bức bằng tần số dao động riêng của hệ.

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {F_{\max }} = k(\Delta {l_0} + A)\\ {F_{\min }} = k(\Delta {l_0} - A) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10 = k(0,04 + A)\,(1)\\ 6 = k(0,04 - A)\,(2) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{10}}{6} = \frac{{0,04 + A}}{{0,04 - A}} \end{array}\)

⇒ A = 0,01m = 1cm

Suy ra:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {l_{\max }} = {l_0} + \Delta {l_0} + A\\ {l_{\min }} = {l_0} + \Delta {l_0} - A \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {l_{\max }} = 20 + 4 + 1 = 25cm\\ {l_{\min }} = 20 + 4 - 1 = 23cm \end{array} \right. \end{array}\)

Ta có:

-  L = 2A =40  ⇒ A = 20cm

- Hệ thức:

\({A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \Leftrightarrow {20^2} = {10^2} + \frac{{{{\left( {20\pi \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

\( \Rightarrow \omega = 2\pi \Leftrightarrow T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1s\)

Ta có:

\({A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \Leftrightarrow {5^2} = {3^2} + \frac{{{{\left( v \right)}^2}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow v = \pm 8\pi cm/s \approx \pm 25,12cm/s\)

Theo bài ra ta có:

Tại thời điểm ban đầu vật đi qua VTCB theo chiều dương 

⇒ φ = −π/2 ⇒ φ = −π/2

+ Khi x = 3cm thì v = 8π cm/s, ta có:

\({A^2} = {3^2} + \frac{{{{\left( {8\pi } \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}\) (1)

+ Khi x = 4cm thì v = 6πcm/s, ta có:

\({A^2} = {4^2} + \frac{{{{\left( {6\pi } \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}\) (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} \omega = 2\pi \\ A = 5cm \end{array} \right.\)

Vậy phương trình dao động của vật có dạng:

\(x = 5\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right)\)

Dao động tổng hợp có dạng:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_1} + {x_2} = 3\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) + 7\cos \left( {10\pi t + \frac{{13\pi }}{6}} \right)}\\ { = 10\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)} \end{array}\)

Ta có:

Tại vị trí x = 5cm =A/2

+ Thế năng: 

\({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{{\rm{x}}^2} = \frac{1}{2}k{.0,05^2} = {1,25.10^{ - 3}}k\left( J \right)\)

+ Cơ năng:

\({\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}k{.0,1^2} = {5.10^{ - 3}}k\left( J \right)\)

+ Động năng: 

\({{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = \left( {5 - 1,25} \right){.10^{ - 3}}k = {3,75.10^{ - 3}}k\left( J \right)\)

Suy ra tỉ số:

\(\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}} = \frac{{{{3,75.10}^{ - 3}}k}}{{{{1,25.10}^{ - 3}}k}} = 3\)

Tại thời điểm t =π vật có li độ là:

\(x = 10\cos \left( {20\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = 5cm\)

Độ cứng của lò xo là:

\(k = m{\omega ^2} = {0,1.20^2} = 40\)

Thế năng của lò xo tại thời điểm t=π là:

\({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{{\rm{x}}^2} = \frac{1}{2}{.40.0,05^2} = 0,05J\)

Khi quả nặng của một con lắc đơn đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên thì lực căng của sợi dây giảm.

Trong dao động cưỡng bức, hiện tợng cộng hưởng xảy ra khi tần số của lực cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ dao động.

Công thức liên hệ: 

\({A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} - {x^2}\)

Ta có: Δl< A

=> trong quá trình dao động lò xo dãn khi x<−Δl, lò xo nén khi x<Δl

⇒ F_dhmin=0 tại vị trí x =−Δl

Tần số dao động của con lắc đơn:

\(f = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} \)

\(\left\{ \begin{array}{l} f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} \\ f' = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{2l}}} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{f}{{f'}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow f' = \frac{1}{{\sqrt 2 }}f\)

Tốc độ của con lắc đơn khi nó đi qua vị trí có li độ αđược tính bằng công thức:

\(v = \sqrt {2gl\left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right)} \)

Chu kì T = 2π/ω = 1s

Ta có: x=10√2=A√2/2

Tại thời điểm t = 0 vật ở vị trí biên âm

=> thời điểm vật qua vị ví có li độ x = 10√2 theo chiều âm vật quay được góc φ =5π/4

=> t = 5T/8 = 5/8 s

\({\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}{.0,2.10^2}{.0,1^2} = 0,1J\)

Chu kì dao động của hệ lò xo khi treo vật nặng vào lò xo k1 là:

\({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_1}}}} \)

Chu kì dao động của hệ lò xo khi treo vật nặng vào lò xo k₂ là:

\({T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_2}}}} \)

Chu kì dao động của hệ lò xo khi treo vật nặng vào lò xo k₁, k₂ ghép song song là:

\({T_{12}} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} ,\)

\(k = {k_1} + {k_2} \Rightarrow \frac{1}{{T_1^2}} + \frac{1}{{T_2^2}}\)

\( \Rightarrow {T_{12}} = \frac{{{T_1}.{T_2}}}{{\sqrt {T_1^2 + T_2^2} }} = 0,24s\)

\(F = k{\rm{\Delta }}l \Leftrightarrow k = \frac{F}{{{\rm{\Delta }}l}} = \frac{1}{{{{5.10}^{ - 2}}}} = 20N/m\)

\({a_{max}} = {\omega ^2}A = \frac{k}{m}.A = \frac{{60}}{{0,1}}.0,04 = 24{\mkern 1mu} m/{s^2}\)

Hai dao động vuông pha, biên độ dao động tổng hợp là:

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} = \sqrt {{A^2} + {A^2}} = A\sqrt 2 \)

Tại thời điểm t = 0 vật ở vị trí biên, vật đạt vận tốc cực đại tại VTCB.

Từ vị trí biên đến VTCB vật quay góc π/2 ⇒ t = T/4

Theo đề bài ta có: 

\(\frac{{{\rm{\Delta }}A}}{{{A_0}}} = 7,5{\rm{\% }} \Rightarrow {\rm{\Delta }}A = 0,075{{\rm{A}}_0}\)

\({\rm{\Delta }}A = {A_0} - {A_1} \Leftrightarrow {A_1} = {A_0} - {\rm{\Delta }}A = 0,925{{\rm{A}}_0}\)

Độ giảm tương đối của thế năng được xác định bằng:

\(\begin{array}{l} \frac{{{\rm{\Delta W}}}}{{\rm{W}}} = \frac{{\frac{1}{2}kA_0^2 - \frac{1}{2}kA_1^2}}{{\frac{1}{2}{\rm{kA}}_0^2}} = \frac{{A_0^2 - A_1^2}}{{A_0^2}}\\ = \frac{{A_0^2 - {{\left( {0,925{{\rm{A}}_0}} \right)}^2}}}{{A_0^2}} = 0,14 = 14{\rm{\% }} \end{array}\)

\(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{30}}{{0,3}}} = 10\sqrt 3 rad/s\)

Áp dụng công thức:

\(\frac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}{A^2}}} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}{A^2}}} = 1,\)

ta tìm được: A = 5cm.

Sau T/4 thì động năng của vật lại bằng thế năng

⇒ T = 4.0,05 = 0,20s

Phương trình dao động tổng hợp:

\(x = {x_1} + {x_2} = 3\sqrt 2 \cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{4}} \right)\left( {cm} \right)\)

Tần số của năng lượng trong dao động tuần hoàn theo thời gian bằng 2 lần tần số li độ

Chu kỳ của con lắc lò xo không phụ thuộc vào biên độ dao động.